南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若方程表示椭圆,则m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
2．已知直线与动圆,下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.当时,若直线l与圆C相切,则
C.若直线l与圆C相交截得弦长为定值d,则
D.当时,直线l截圆C的最短弦长为
3．曲线与曲线（）的( )
A.短轴长相等B.长轴长相等C.焦距相等D.离心率相等
4．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线是一条形状优美的曲线,曲线C围成的图形的面积是( )
A.B.C.D.
5．已知点,,动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
6．已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5,母线长为5,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
7．正方形的边长为12,其内有两点P、Q,点P到边、的距离分别为3,2,点Q到边、的距离也是3和2.现将正方形卷成一个圆柱,使得和重合（如图）.则此时P、Q两点间的距离为( )
A.B.C.D.
8．如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,,与y轴的交点分别为,,点P为半椭圆上一点（不与重合）,若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列四个命题中正确的是( )
A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为
B.向量是直线的一个方向向量
C.直线与直线之间的距离是
D.圆与圆有两条公切线
10．在棱长2的正方体中,M,N分别为,的中点,则( )
A.平面
B.直线与是异面直线
C.平面截正方体所得截面是五边形
D.平面截正方体所得截面的面积为
11．已知双曲线的左焦点为F,P为C右支上的动点,过P作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.点F到C的一条渐近线的距离为2
B.双曲线C的离心率为
C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D.当最小时,则的周长为
三、填空题
12．已知是椭圆的两个焦点,点P在该椭圆上,若,则的面积是________.
13．四川的旅游资源丰富,不仅有众多著名的自然景观,还包括许多人文景点.其中,九寨沟以奇幻的山水景观著称;峨眉山以秀丽闻名;青城山以幽静清雅著称;剑门关则以雄险著称.此外,四川还有许多必去的旅游景点,如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四姑娘山等.这些景点既展示了四川的自然美景,还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值.甲、乙两人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩,已知甲、乙两人选择三个景点游玩的概率分别是,,和,,,则甲、乙选择相同的景点游玩的概率为________.
14．已知正三棱锥的外接球为球O,,,P是球O上任意一点,E为的中点,则的取值范围为________.
四、解答题
15．已知椭圆（）的右焦点为,且过点,直线l过点F且交椭圆C于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若线段的垂直平分线与x轴的交点为.
（ⅰ）求直线l的方程.
（ⅱ）若点,求的面积.
16．如图,四边形与均为菱形,,,.
（1）求证:平面;
（2）P为线段上的动点,求与平面所成角正弦值的最大值;
（3）设中点为K,G为四边形内的动点（含边界）且,求动点G的轨迹长度.
17．如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,E为中点,点F在上,且.
（1）求证:平面;
（2）求二面角的余弦值;
（3）线段上是否存在点Q,使得平面?说明理由.
18．2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行,此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验,更是对数学教育未来发展的深刻实践探索,共有200多名学生参赛,引起社会广泛关注,点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题,已知甲能解出该题的概率为,乙能解出而丙不能解出该题的概率为,甲、丙都能解出该题的概率为.
（1）求乙、丙各自解出该题的概率;
（2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
19．已知拋物线的焦点,直线,
（1）设直线l与x轴交于B点,直线与抛物线交于A,C两点,其中A在第一象限,求出所有满足的点E的坐标.（其中点E与点A对应,点C与点B对应）;
（2）过直线l上的点P作抛物线的两条切线,,切点分别为M,N,求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为方程表示椭圆,
所以,解得,
故选：D.
2．答案：C
解析：对于A,将直线整理为.
令,解方程组,得,即,
将代入得,所以直线l过定点,故A选项错误.
对于B,当时,直线l方程为,即.
圆,圆心,半径.
因为直线与圆相切,则圆心到直线距离等于半径,即,
或,解得或,故B选项错误.
对于C,圆,圆心,半径.
直线,根据点到直线的距离公式,圆心到直线l的距离.
弦长,若弦长为定值,则L为定值,与a,b无关.
当时,,,是定值,故C选项正确.
对于D,当时,求直线l截圆C的最短弦长
当时,圆,圆心,半径.
直线过定点.
圆心到定点的距离.
根据几何关系,直线l截圆C的最短弦长,故D选项错误.
3．答案：C
解析：A选项,明显短轴不相等,一个,,故错误;B选项,一个
另一个为,故错误.D选项,离心率,结合前面提到了a不相等,故错误;曲线的焦半径满足,而焦半径满足
,故两曲线的焦半径相等,故焦距相等,C正确.
4．答案：C
解析：以,代换x,y,方程不变,
故曲线关于原点及x轴,y轴对称,
当,时,可得,即,
可得此时曲线是以 为圆心,为半径的半圆,
由此作出曲线C的图象如图所示,
所以曲线C围成的图形的面积是,
故选：C
5．答案：A
解析：,由,
结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以,为焦点的双曲线右支,
在双曲线中,,可得,,
所以,
动点P的轨迹方程为.
故选：A.
6．答案：C
解析：设圆台的高为h,根据圆台的母线长l、高h和上下底面半径之差构成直角三角形,由勾股定理可得.
已知,,,则.
代入圆台体积公式,
可得.
7．答案：C
解析：过点P作平行于底面的截面圆,过点Q作平行于底面的截面圆,,
设圆柱的底面圆半径为r,则,解得,于是,
由,得
,
所以P、Q两点间的距离为.
8．答案：D
解析：（解法1）设,,
因为,,所以,.
,所以.
因为,所以.
因为,所以,即,解得.
（解法2）设,,
因为,,所以,,
所以.
因为,所以.
因为存在.,所以在上有解.
因为,且,
所以在上有解,
即在上有解.
因为,所以,即解得.
9．答案：BD
解析：选项A:由题意可知直线斜率存在且不为0,设直线方程为,
令解得,令解得,
因为该直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍,
所以,解得或,
所以直线方程为或,A说法错误;
选项B:直线的斜率为,方向向量为,当时,B说法正确;
选项C:由得,
则直线与直线之间的距离,C说法错误;
选项D:由题意圆圆心为,半径,
圆圆心为,半径,
因为,,
所以两圆相交,有且仅有两条公切线,D说法正确;
10．答案：ABD
解析：对于A,如图,正方体中,M,N分别为,的中点,取P,Q分别为,的中点.连接..由正方体性质,知道,,平面,平面,则平面.故A正确.
对于B,点不在MN上,由异面直线定义可知,直线与是异面直线,故B正确.
对于C和D,由前面知道,,则等腰梯形是所求截面,
如图,棱长是2的正方体,可求得,,
,,
作,,则.
则等腰梯形的面积为:.故C错误,D正确.
11．答案：BCD
解析：双曲线的渐近线为,左焦点,所以点F到C的一条渐近线的距离为,所以A错误;
由双曲线方程可得,,所以离心率,所以B正确;
设点,则,即,
点P到两渐近线距离分别为和,
则,所以C正确;
设双曲线的右焦点,则,所以,
若最小,则只需最小即可,
过作垂直渐近线与点A,交双曲线右支与点P,此时最小,
,由勾股定理得,所以,所以,
所以的周长为,所以D正确.
12．答案：
解析：由题意知,是椭圆的两个焦点,
则,,,
不妨取,,则,
又,结合可得,,
则,即,
故,
13．答案：
解析：由题意知甲,乙两人选择景点游玩相互独立,所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的概率为.
14．答案：
解析：因为底面是正三角形,.
根据正三角形外接圆半径公式（其中a为正三角形的边长）,可得.
设正三棱锥的高为h,顶点A在底面的射影为.
因为E为中点,在上,且.
对于正三角形,,则.
在中,,,根据勾股定理.
设外接球半径为R,球心O在高上.
根据,将,代入可得:
.展开得.
移项化简得,解得.
因为.
设球心O到E点的距离为d,在中,,,根据勾股定理.
的最小值为,最大值为.
,.
所以的取值范围是.
15．答案：（1）;
（2）或;
解析：（1）根据题意有,解之得,,所以椭圆C的方程;
（2）（ⅰ）显然若l斜率不存在,其垂直平分线与横轴重合,不符合题意;
不妨设直线l的方程为,的中点为C,
设,,,
l与椭圆方程联立有,整理得,
则,
所以,,
易知,解之得,
即,整理得直线l的方程为或;
（ⅱ）由弦长公式可知
,
由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同,即,
所以的面积为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）因为四边形为菱形,则,
设,连接,则O为的中点,
因为,则,
因为,、平面,故平面.
（2）连接,因为四边形为菱形,则,
又因为,则为等边三角形,
因为O为的中点,则,
又因为平面,以点O为坐标原点,、、所在直线分别为x、
y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为,四边形为菱形,且,则是边长为2的等边三角形,
所以,,,,
同理可得,
所以,、、、、、,
则,,
设平面的法向量为,
则,取,可得,
因为P为上的动点,设,其中,
且,,
所以,,
设直线与平面所成角为,
则
,
当时,取最大值,且最大值为,
因此,与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）因为K为的中点,则,
设点,则,,
因为,即,即,
化简可得,
故动点G的轨迹是以点D为圆心,半径为的圆在四边形内的部分,
即圆心角为的圆弧,故所求轨迹的长度为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）不存在,理由见解析
解析：（1）在中,
所以,即.
又因为,在平面中,,
所以平面.
（2）因为平面平面,平面平面,,平面,
所以平面,由平面,得
由（2）知,且已知,
故以A为原点,建立如图空间直角坐标系,
则,,.
所以,,,,
因为E为中点,所以.
由知,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,.于是.
由（1）知平面,所以平面的法向量为.
所以,
由题知,二面角为锐角,所以其余弦值为;
（3）设是线段上一点,则存在使得.
因为,,
所以.
因为平面,所以平面,当且仅当,
即.
即.解得.
因为,
所以线段上不存在使得平面.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）设“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B,“丙解出该题”为事件C,
则A,B,C相互独立,
由题意得,,
所以,,
所以,所以乙、丙各自解出该题的概率为,.
（2）设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件D,
则,
因为,,,
所以,,,
因为、、相互独立,
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.
19．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为拋物线的焦点为,则,得到,所以拋物线,
由题知,由,得到,所以,
在中,,,,
则,又,所以,
因为,且点E与点A对应,点C与点B对应,所以,
如图,易知,所以点E在y轴正半轴或x轴负半轴上,
又因为,,得到,
所以点E的坐标为或.
（2）设,,,则,,
再设切线的方程为,
联立方程组,整理得,
由,且,可得,
则切线的方程为,即.
由切线过点,可得.
同理,切线的方程为,
由切线过点,可得,
则直线的方程为,
联立方程组,整理得,
可得,,
则
,
当且仅当时,等号成立,故的最小值为.