平罗中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份平罗中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线方程为,则该直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．圆关于原点对称的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
3．圆上的点到直线的距离的最大值为( )
A.B.C.D.
4．若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
5．点P在双曲线上,、是双曲线的两个焦点,,且的三条边长满足,则此双曲线的离心率是( )
A.B.C.2D.5
6．已知曲线,从C上任意一点P向x轴作垂线段,为垂足,点M满足,则点M的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,准线为l,且l过点,M在抛物线C上,若点,则的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点,,P是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为,,则( )
A.4B.C.2D.3
二、多项选择题
9．设椭圆的左、右焦点为,,P是椭圆C上的动点,则下列说法中正确的是( )
A.
B.椭圆C的离心率
C.面积的最大值为
D.以线段为直径的圆与直线相离
10．如图,在长方体中,,,点M为线段上动点（包括端点）,则下列结论正确的是( )
A.当点M为中点时,平面
B.当点M为中点时,直线DM与直线BC所角的余弦值为
C.当点M在线段上运动时,三棱锥的体积是定值
D.点M到直线距离的最小值为1
11．已知双曲线的左焦点为F,P为C右支上的动点,过P作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.点F到C的一条渐近线的距离为2
B.双曲线C的离心率为
C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D.当最小时,则的周长为
三、填空题
12．经过点且与直线垂直的直线方程为______________.
13．已知,是椭圆的两个焦点,点P在该椭圆上,若,则的面积是____________.
14．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_______________.
四、解答题
15．已知抛物线过点.
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB的长度.
16．已知圆C的方程为：.
(1)若直线与圆C相交于A、B两点,且,求实数a的值;
(2)过点作圆C的切线,求切线方程.
17．已知双曲线C和椭圆有公共的焦点,且离心率为.
(1)求双曲线C的方程.
(2)经过点作直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程并求弦长.
18．如图：在直三棱柱中,,,,M是的中点,N是的中点.
(1)求证：平面;
(2)求：平面与平面夹角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点P,使得点P到平面MBC的距离为,若存在求此时的值,若不存在请说明理由.
19．已知椭圆的右焦点为,且过点,直线l过点F且交椭圆C于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若线段的垂直平分线与x轴的交点为.
（ⅰ）求直线l的方程.
（ⅱ）若点,求的面积.
参考答案
1．答案：A
解析：依题意,直线的斜率为-1,所以该直线的倾斜角为.
故选：A.
2．答案：C
解析：圆的圆心为,半径为,
因为点关于原点对称点为,
所以圆关于原点对称的圆的方程为
,
故选：C.
3．答案：B
解析：圆的圆心为,半径为,
则点到直线的距离为,
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意可得：,解得,
所以m的取值范围为.
故选：A.
5．答案：D
解析：设点P在双曲线的右支上,则,,
因为,所以,,
因为,所以是直角三角形,所以
所以,即,
所以,解得：或（舍）,
所以此双曲线的离心率是5,
故选：D.
6．答案：B
解析：设,则有,设,
则,由,则有,
即,故有,即.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题可得,准线l的方程为.
由抛物线的定义可知,,
.
故选：D.
8．答案：A
解析：如图所示:
设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,
则根据椭圆及双曲线的定义：,,
,,
设,,
则在中由余弦定理得,,
化简得,该式可变成.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,
对于A,,A正确;
对于B,椭圆C的离心率,B正确;
对于C,设点P纵坐标为,则,的面积,C错误;
对于D,以线段为直径的圆的圆心到直线距离,直线与圆相离,D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：在长方体中,以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,设,,
对于A,,,,,,
,,即,,
而,,平面,因此平面,A正确;
对于B,,,,B错误;
对于C,由选项A知,点到平面的距离为,而的面积,
因此三棱锥的体积为,是定值,C正确;
对于D,,,则点M到直线的距离
,当且仅当时取等号,D错误.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：双曲线的渐近线为,左焦点,所以点F到C的一条渐近线的距离为,所以A错误;
由双曲线方程可得,,所以离心率,所以B正确;
设点,则,即,
点P到两渐近线距离分别为和,
则,所以C正确;
设双曲线的右焦点,则,所以,
若最小,则只需最小即可,
过作垂直渐近线与点A,交双曲线右支与点P,此时最小,
,由勾股定理得,所以,所以,
所以的周长为,所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题可设所求直线方程为,
代入点,可得,即,
所以经过点且与直线垂直的直线方程为.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意知,是椭圆的两个焦点,
则,,,
不妨取,,则,
又,结合可得,,
则,即,
故,
故答案为：.
14．答案：
解析：有得所以双曲线的渐近线为
又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得,,
在中,O到的距离为.,,.
15．答案：(1),准线方程为
(2)
解析：(1) 过点,
,解得,
抛物线,准线方程为;
(2)由(1)知,抛物线焦点为,
设直线,,,
由,得：,则,
则.
16．答案：(1)或-6;
(2)或.
解析：(1)圆C的方程为：,
则圆C的圆心为,半径为2,
直线与圆C相交于A、B两点,且,
则,解得或-6;
(2)当切线的斜率不存在时,直线,与圆C相切,
切线的斜率存在时,可设切线为,即,
由切线的定义可知,,解得,
故切线方程为,
综上所述,切线方程为或.
17．答案：(1)
(2),
解析：(1)由题意得椭圆的焦点为,,
设双曲线方程为,
则,,,
解得,.
双曲线方程;
(2)把,分别代入双曲线,,
两式相减,得,
把,,代入,得,
,直线l的方程为,即
把代入,消去y得,
,,,
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在,
解析：(1)取中点D,连接DN、,
因为D、N分别为、,所以且,
因为与平行且相等,M为中点,
所以与平行且相等,
所以四边形为平行四边形,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)因为直三棱柱
所以平面ABC,又CB,平面ABC,所以、,
因为,即,所以,,两两垂直,
分别以,,,为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,
则,,
易知平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,
设二面角的平面角为,
则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
(3)设,,
因为,所以,
所以,,,
设平面MBC的法向量为,则,
即,令,则
所以P点到平面MBC的距离为,
解得,又,所以.
19．答案：(1);
(2)或;
解析：(1)根据题意有,解之得,,
所以椭圆C的方程;
(2)（ⅰ）显然若l斜率不存在,其垂直平分线与横轴重合,不符合题意;
不妨设直线l的方程为,的中点为C,
设,,
l与椭圆方程联立有,
整理得,
则,
所以,,
易知,解之得,
即,整理得直线l的方程为或;
（ⅱ）由弦长公式可知
,
由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同,即,
所以的面积为.