山西省长治市2025届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省长治市2025届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,若,则( )
A.3B.1C.0D.
2．已知条件与,那么p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．复数z满足（i为虚数单位）,则( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,若,,则( )
A.1B.C.2D.
5．函数的大致图象是( )
A.B.C.D.
6．已知圆锥底面半径为3,侧面展开图扇形的圆心角为216°,则该圆锥内半径最大的球的体积是( )
A.B.C.D.
7．某市九月份30天的空气质量指数如下:
54,51,53,62,52,52,50,58,61,60
63,62,59,57,58,17,18,30,29,31
40,55,84,73,44,70,67,44,46,84
则将该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列,其80%分位数是( )
A.61B.62C.61.5D.62.5
8．已知等差数列的前n项和为,且,,,则m的所有取值的和等于( )
A.24B.26C.37D.44
二、多项选择题
9．已知,,,则( ).
A.B.C.D.
10．已知,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.若,则D.若,则
11．已知函数在处有极值,则( )
A.B.的极大值为
C.有三个零点D.
三、填空题
12．已知函数,,则函数的单调递减区间为________.
13．已知函数,,存在直线过点与曲线和都相切,则________.
14．人类四种血型与基因类型的对应关系为:O型对应基因类型ii,A型对应基因类型ai或aa,B型对应基因类型bi或bb,AB型对应基因类型ab.其中a和b是显性基因,i是隐性基因.一对夫妻的血型一个是A型,一个是B型,则其子女的血型中最可能出现的是型,概率值为________.
四、解答题
15．已知数列与是两个不同的数列.
（1）设数列为单调递增数列,为单调递减数列,记集合,求集合M中元素个数的最大值;
（2）若为等差数列,且不是常数列,,判断是否为等差数列.
16．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
（1）求A;
（2）若D是BC边上一点,且,,求的值.
17．如图,直四棱柱中底面为平行四边形,,,P是棱的中点.
（1）证明:平面;
（2）求二面角的余弦值.
18．已知.
（1）当时,求函数在区间上的最值;
（2）若恒成立,求的取值范围.
19．悬链线,也称为悬垂线或悬链曲线,是在均匀重力场中,将一条柔软且不可伸长的绳索两端固定时所形成的曲线,这种曲线的形状类似于一条链子自然悬挂时的轮廓.后人给出了悬链线的函数表达式,其中a为悬链线系数,称为双曲余弦函数,其函数表达式.双曲正弦函数的表达式.
（1）讨论的单调性并求其最值;
（2）若函数,证明:曲线是中心对称图形;
（3）（ⅰ）证明:①;②;
（ⅱ）已知正项数列（）满足,,直接写出其通项公式;判断是否存在实数a,使得,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,且,
所以,则或,解得或或,
当时,,,符合题意;
当时,集合A不满足元素的互异性,故舍去;
当时,,,不满足,故舍去;
同理,则则或,即或或,
由以上分析可知符合题意,不符合题意,
时,,,不符合题意;
综上可得.
故选:C
2．答案：B
解析：由推不出,故充分性不成立;
由推得出,故必要性成立,
所以p是q的必要不充分条件.
故选:B
3．答案：A
解析：由,可得,所以,所以.
故选:A.
4．答案：A
解析：因为,所以,又,,
所以,又,解得.
故选:A
5．答案：C
解析：由,解得,均能满足有意义,
故函数的定义域为,关于原点对称,
因为,
所以为偶函数,故排除B;
又,所以在上单调递增,
当时,,所以时,,
所以当时,,所以排除A,D;
故选:C.
6．答案：A
解析：画出圆锥的侧面展开图
设母线长为l,依题意
解得:
所以圆锥的高为,作出圆锥轴截面图象,
设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为r,
根据等面积法求解得:
解得,
故选:A.
7．答案：D
解析：因为,
其中该市空气质量指数按照从低到高的顺序排列第24个数为62,第25个数为63,
所以80%分位数是.
故选:D
8．答案：B
解析：等差数列的前n项和为,,,
得到
,同理得到
可得:,
由等差数列的通项公式和求和公式得到,,
联立两个方程消去,可得:,
解得:或.
所以m的所有取值的和等于26,
故选:B
9．答案：ABD
解析：因为单调递减,所以,因为单调递增,
所以,因为单调递增,所以,
故,即A正确,C错误;则,所以B正确;则,所以D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A:,故A正确;
对于B:
,故B正确;
对于C:,故C错误;
对于D:因为,所以,又,,
所以,则,
所以,故D正确.
故选:ABD
11．答案：AB
解析：因为,
所以,依题意,解得或,
当时,不满足题意,
当时,
所以当或时,当时,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
则在处取得极大值,在处取得极小值,
则极大值为,极小值我为,所以有且仅有一个零点,故A、B正确,C错误;
由,,而在上单调递减,
所以,故D错误.
故选:AB
12．答案：,
解析：时,,
结合余弦函数的性质,当和时,
函数单调递减,此时,,
故答案为:,.
13．答案：
解析：设直线与曲线相切于点,与曲线相切于点,
由,则,则,则切线为,
又切线过点,所以,即,所以,
所以切线方程为,由,则,
则,解得.
故答案为:
14．答案：AB;
解析：因为A型对应基因类型ai或aa,B型对应基因类型bi或bb,
所以这对夫妻子女血型的基因类型有:
以上16种情况是等可能得,构成了该事件的样本空间,
其中基本事件,即基因类型ab共有9个,
所以子女的血型中概率最大的是AB型,其概率为.
故答案为:AB;
15．答案：（1）1
（2）不是
解析：（1）因为为递增数列,所以体现在散点图上,是呈上升趋势,
为递减数列,所以体现在散点图上,是呈下降趋势,两者至多一个交点,
所以集合M中元素个数的最大值为1.
（2）设的公差为,不等于0,
所以显然不是一个定值,
所以不是等差数列.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,即,
由余弦定理,
所以,又,所以;
（2）因为,记,则,
因为,设,,
在中,,即,
在中,,所以,所以,
所以,即,
在中由余弦定理有,整理得,即,
所以,即.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,因为,,,
所以,又,
所以,
所以,
所以,又,所以,
因为,,所以,所以,
又四棱柱为直四棱柱,所以平面,平面,
所以,又,平面,
所以平面,
又平面,所以,
又,,平面,
所以平面;
（2）由（1）可知、、两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,
取,则,,
;
由（1）得平面的法向量,
设二面角为,显然二面角为锐二面角,
所以,所以二面角的余弦值为.
18．答案：（1）最大值为,最小值为;
（2）.
解析：（1）当时,则,
所以当时,当或时,
所以在上单调递减,在,上单调递增,
又,所以函数在区间上的最大值为;
,,
因为,
因为,所以,则,
所以,
所以函数在区间上的最小值为;
综上可得函数在区间上的最大值为,最小值为;
（2）因为,令,
则恒成立的必要条件是,即,
由,令,则,
因为,所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为当时,所以,则在上没有零点,
又,所以存在,使得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
要使,只需,即,
因为,所以,
代入中,解得,
令,则,
所以当时,则在上单调递增,
所以当时,所以,即,
综上可得a的取值范围为.
19．答案：（1）单调递减区间为,单调递增区间为,最小值,没有最大值;
（2）证明见解析
（3）（ⅰ）证明见解析;
（ⅱ）
解析：（1）因为,则定义域为R,
且为增函数,且当时,
所以当时,当时,
即的单调递减区间为,单调递增区间为,
则当时取得最小值1,没有最大值;
（2）函数的定义域为,
又
,
所以曲线是中心对称图形,且对称中心为;
（3）（ⅰ）①
.
②
（ⅱ）由（ⅰ）可知,又,,
可设,则,
,…,,
所以,
记,则,解得或,
所以或,
则,
则.
父母血型的基因组合
子女血型的基因类型
aibi
ab
ai
bi
ii
aibb
ab
ab
bi
bi
aabi
ab
ai
ab
ai
aabb
ab
ab
ab
ab