西宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份西宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线,则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知,,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3．已知直线,直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知空间向量,,若与垂直,则等于( )
A.B.C.D.
5．已知圆关于直线l的对称圆为,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
6．已知点,,O为坐标原点,且,则( )
A.36B.C.6D.
7．已知直线与圆交于A,B两点,且,则( )
A.4B.-4C.2D.-2
8．如图,在三棱锥中,,,,点D,E,F满足,,,则直线CE与DF所成的角为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．向量,,若,则( )
A.B.
C.D.
10．已知圆,圆,则下列说法正确的是( )
A.若点在圆的内部,则
B.若,则圆,的公共弦所在的直线方程是
C.若圆,外切,则
D.过点作圆的切线l,则l的方程是或
11．设,分别是直线l,m的方向向量,,分别是平面,的一个法向量,则( )
A.若,则
B.若,,且,则与的夹角为
C.若,则直线l与平面所成的角为
D.若,且,则
三、填空题
12．已知,,则与夹角的余弦值为___________.
13．已知圆,过圆C外一点P作C的两条切线,切点分别为A,B,若,则__________.
14．已知平面的一个法向量为,点是平面上的一点,则点到平面的距离为___________.
四、解答题
15．(1)已知空间向量,,求;
(2)已知,,若,求实数的值
16．已知以点为圆心的圆与直线相切,过点的动直线l与圆A相交于M,N.
(1)求圆A的方程;
(2)当时,求直线l的方程.
17．如图,在四棱锥中,平面,,,,,M为棱的中点
(1)证明：平面;
(2)求平面和平面夹角的余弦值;
18．已知一组动直线方程为.
(1)求证：直线恒过定点,并求出定点P的坐标;
(2)若直线与x轴正半轴,y轴正半分别交于点A,B两点,求面积的最小值.
19．在四棱锥中,是等边三角形,四边形是矩形,,,,E是棱的中点.
（1）求证：;
（2）求二面角的正切值.
参考答案
1．答案：A
解析：直线l的斜率,
由于,所以,的倾斜角为.
故选：A.
2．答案：D
解析：,
故在上的投影向量为.
故选：D.
3．答案：C
解析：由可得,解得或.
当时,,,显然,重合,舍去,
故时,.因此“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．答案：B
解析：因为,,所以,因为与垂直,
所以,解得,所以,所以,
故选：B.
5．答案：C
解析：圆的圆心为,半径为2,
圆可化为,
圆心为,半径为2,所以直线l的方程为,即.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为,,所以,.
又,解得,
所以,则,所以.
故选：C.
7．答案：D
解析：由题意可得圆M的圆心为,半径,
则圆心M到直线l的距离.因为,
所以,即,解得.
故选：D.
8．答案：D
解析：设,,,则,,
,
,
所以,
故直线CE与DF所成的角为.
故选：D.
9．答案：BC
解析：因为,所以,由题意可得,
所以,,,则.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：对于A,由点在圆的内部,得,解得,故A错误;
对于B,若,则圆,
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是,故B正确;
对于C,圆的标准方程为,圆心为,半径,
圆的标准方程为,圆心为,半径,
若圆,外切,则,即,解得,故C正确;
对于D,当l的斜率不存在时,l的方程是,圆心到l的距离,满足要求,
当l的斜率存在时,设l的方程为,
圆心到l的距离,解得,
所以l的方程是,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AC
解析：,分别是直线l,m的方向向量,,分别是平面,的一个法向量,
对于A,易知若,则,故A正确;
对于B,由,可知,直线,,
显然当与平行时,直线l,m可以满足,故B错误;
对于C,当时,直线l与平面所成的角为,故C正确;
对于D,若,,
则直线l与平面所成的角为,直线m与平面所成的角为,
又,则直线l,m所成角可以为,即直线l与m不平行,故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：,,
.
故答案为：.
13．答案：1
解析：由圆可得圆心坐标为,半径,
由、为圆C切线,故,
又故,
又,故为等边三角形,故.
故答案为：1.
14．答案：
解析：由已知可得,所以点P到平面的距离为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)2.
解析：(1),所以
(2) ,,,, ,
即,解得.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)易知到直线的距离为圆A半径r,
所以,
则圆A方程为
(2)过A做,由垂径定理可知,且,
在中由勾股定理易知
当动直线l斜率不存在时,设直线l的方程为,
经检验圆心到直线l的距离为1,且根据勾股定理可知,
显然合题意,
当动直线l斜率存在时,l过点,设l方程为：,
由到l距离为1知得,
代入解之可得,
所以或为所求l方程.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取中点N,连接,.
在中,M,N分别为,的中点,则,,
因为,,则,,
可知四边形为平行四边形,则,
且平面,平面,所以平面.
(2)因为平面,,平面,
则,,且,
以D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
取的中点E,连接,
因为,,则,.
又因为,所以四边形为矩形,
且,可知四边形是以边长为2的正方形,
则,,,,,,
可得,,,
设平面的法向量为,所以,
令,则,,所以平面的一个法向量为,
易知为平面的一个法向量,
所以,
所以平面和平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1)定点为, 最小值为8.
(2)
解析：(1)直线方程,整理可得：恒成立,
由此,,解得,,由此直线恒过定点.
(2)直线分别交x轴的正半轴,y轴正半分别交于点A,B两点,
设直线方程为其中.令,;令,,
所以,
当时取等号,.
19．答案：（1）见解析
（2）2
解析：（1）证明：取的中点F,连接,,如图所示.
因为是等边三角形,F是的中点,所以.
因为F是的中点,E是棱的中点,所以.
又四边形是矩形,所以,所以,
又,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以,
又,,平面,所以平面,
又平面,所以;
（2）因为平面,平面,所以,
又,,,平面,所以平面.
又平面,所以.
过F作的垂线,垂足为G,连接,如图所示.
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以,所以二面角的大小为.
在中,易得.
在中,易得,所以.