河南省信阳市信阳高级中学（贤岭校区）2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

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数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
A
C
C
C
D
ABD
AC
题号
11









答案
ACD









12．16
13．
14．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程；
（2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与,
故设双曲线方程为：，
因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：.
（2）由可得，
因为直线与双曲线右支交于不同两点，
所以，故.
16．(1).
(2)平均数为，方差为.
【分析】（1）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可；
（2）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.
【详解】（1）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第分位数落在第5组,设为x，则，解得.
“防溺水达人”的成绩至少为分.
（2）)的频率为，)的频率为，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为.
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角.
【详解】（1）取中点，连结，，，
由题意，在中，，，
所以为等边三角形，所以，
因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
所以，为二面角的平面角，
在中，，，，
所以，
可得，所以，
所以，平面平面．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则，B1,0,0，，，．
所以，，
由于为棱中点，故，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，，
设直线与平面所成角为，则
，
所以，
所以，直线与平面所成角的余弦值为．

18．(1)证明见解析，，
(2)
(3)，其中，
【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解，
（2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解，
（3）根据可得分别为等比数列，即可根据等比数列求和公式分类求解.
【详解】（1）由可得，
相减可得，
因此，
由于为正项数列，所以，因此，
故，
故数列为等差数列，且公差为2，
又，所以，
故
（2），故，
由可得，化简可得，
因此，
记，则
，
当时，，故，而，
当时，，
，故，
故为数列的最小项，故，
故的最大值为
（3）由可得，
故，
又，故，
因此是以1为首项，4为公比的等比数列，故，
是以1为首项，4为公比的等比数列，故
是以2为首项，4为公比的等比数列，故
故当时，当时，
则，
，
当时，
则，
，
综上可得，即，其中，
19．(1)
(2)（i）；（ii）3
【分析】（1）根据题意，由条件可得的方程，即可得到结果；
（2）（i）设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到点的轨迹方程，从而得到结果；（ii）由正切的二倍角公式可得，即可得到直线的斜率，从而得到点的坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程即可得到点的坐标，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设Px,y为椭圆上一点，由题意可知且，
椭圆以为左右焦点，长轴长，
焦距，
椭圆的标准方程为.
（2）
（i）设，
联立得，
，
，
中点点的轨迹为，
中点M到点的最小距离即为点到直线的距离.
（ii），设，
解得（舍）或，
不妨设斜率为正，则，直线方程为，由对称性知，
由（i）知，直线斜率为，所以直线的方程为，即.
联立方程组得，
.