河南省洛阳市伊滨区2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

这是一份河南省洛阳市伊滨区2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）“一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，5，5B．5，5，10C．5，6，12D．3，4，7
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）
5．（3分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
6．（3分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（ ）
A．22.5°B．45°C．60°D．135°
7．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CEB．AC∥DFC．∠B＝∠ED．AB＝DE
8．（3分）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70°B．40°C．140°D．40°或140°
9．（3分）如图，∠AOC＝15°，OC平分∠AOB，D是OC上一点，过点D作DE∥OB交OA于点A，DF⊥OB交OB于点F，已知DF＝1，则OE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且∠EDF＝90°，下列结论：①BE＝AF；②EF的长度不变；③∠BED+∠CFD的度数不变；④四边形AEDF的面积为9cm2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，其几何原理是 ．
12．（3分）如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是 ．
13．（3分）如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转20°，再前进6m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），B（0，4），点C在AB的垂直平分线上，且∠ACB＝90°，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）请写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）在x轴上找出点P，使得BP+CP的值最小．（保留作图痕迹）
17．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．求∠DAC和∠BOA的度数．
18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD＝DC．
19．（9分）如图，OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为16，BC长为8，求△ABC的周长．
20．（9分）如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．试判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由．
21．（10分）小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为0.9m，已知∠BOC＝90°，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E．
（1）求证：△CEO≌△ODB；
（2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？
22．（9分）下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）嘉淇的“办法1”可由作法判断△OMC≌△ONC，因为全等三角形的对应角相等，所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠AOB．请直接写出判断△OMC≌△ONC的依据是 ；
（2）请说明嘉淇的办法2的合理性．
23．（12分）【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，求证：CD＝CE．
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到CD＝CE．
②如图3，小颖同学从平分90°的条件出发给出另一种解题思路：过C作CF⊥OC，交OB于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到CD＝CE．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，求证：CD＝CE．
【学以致用】
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC边的中点，∠EDF＝120°，DE与AB边相交于点E，DF与AC边相交于点F．请直接写出线段BE，CF和AB的数量关系．
2024-2025学年河南省洛阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）“一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【解答】解：从四个选项的甲骨文看，只有选项B中的甲骨文能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，而其余甲骨文则不具备这样的特性．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．（3分）下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，其中线段AD是△ABC的高，再结合图形进行判断即可．
【解答】解：线段AD是△ABC中BC边上的高的图是选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，5，5B．5，5，10C．5，6，12D．3，4，7
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、5+5＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；
B、5+5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、5+6＜12，故不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、3+4＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
5．（3分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
【解答】解：∵∠EBC＝45°，∠ECB＝30°，
∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．（3分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（ ）
A．22.5°B．45°C．60°D．135°
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CEB．AC∥DFC．∠B＝∠ED．AB＝DE
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
8．（3分）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70°B．40°C．140°D．40°或140°
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
9．（3分）如图，∠AOC＝15°，OC平分∠AOB，D是OC上一点，过点D作DE∥OB交OA于点A，DF⊥OB交OB于点F，已知DF＝1，则OE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点D作DG⊥OA，由角平分线的性质得DG＝DF＝1，∠AOB＝2∠AOC＝30°，结合DE∥OB，可知∠DEG＝30°，∠EDO＝∠EOD＝15°，则OE＝DE＝2DG＝2，即可求解．
【解答】解：过点D作DG⊥OA，
∵OC平分∠AOB，D是OC上一点，DG⊥OA，DF⊥OB，DF＝1，∠AOC＝15°，
∴DG＝DF＝1，∠AOB＝2∠AOC＝30°，
又∵DE∥OB，
∴∠DEG＝∠AOB＝30°，则∠EDO＝∠DEG﹣∠AOC＝15°
∴DE＝2DG＝2，∠EDO＝∠EOD＝15°，
∴OE＝DE＝2，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，等角对等边，含30°角的直角三角形的性质，根据角平分线的性质作辅助线得DG＝DF＝1是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且∠EDF＝90°，下列结论：①BE＝AF；②EF的长度不变；③∠BED+∠CFD的度数不变；④四边形AEDF的面积为9cm2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】证明△BDE≌△ADF（ASA）即可一一判断得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，
∵∠BDA＝∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠B＝∠DAF＝45°，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF，DE＝DF，
故①正确，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE的长度是变化的，
∴EF的长度是变化的．
故②不正确．
∵△BDE≌△ADF，
∴∠BED＝∠AFD，
∴∠BED+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝180°，
故③正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴S△BDE＝S△ADF，
∴S△ADE+S△ADF＝S△ADE+S△BDE＝S△ADB＝＝×6×6＝9（cm2）．
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，其几何原理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
12．（3分）如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是 7点20分（或7：20） ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为7点20分（或7：20）．
故答案为：7点20分（或7：20）．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
13．（3分）如图，小明从A点出发，前进6m到点B处后向右转20°，再前进6m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 108 m．
【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×6＝108（m），
故答案为：108．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理以及正多边形的判定是解决问题的前提．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为 2a+b＝﹣1 ．
【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2a+b+1＝0，然后再整理可得答案．
【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，
因此2a+b+1＝0，
即：2a+b＝﹣1．
故答案为：2a+b＝﹣1．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的做法．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），B（0，4），点C在AB的垂直平分线上，且∠ACB＝90°，则点C的坐标为 （5，5）或（1，﹣1） ．
【分析】分两种情况，结合全等三角形的判定和性质，即可求解．
【解答】解：∵A（6，0），B（0，4），
∴OA＝6，OB＝4，
分两种情况：
①如图所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，则∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，∠DCE＝90°，
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠BCE，
∵点C在AB的垂直平分线上，
∴BC＝AC，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD，
∴4+AE＝6﹣AE，四边形ODCE是正方形，
∴AE＝1，CE＝CD＝OE，
∴OE＝OD＝5，
∴点C坐标为（5，5）．
②如图所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，则∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，∠DCE＝90°，
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠BCE，
∵点C在AB的垂直平分线上，
∴BC＝AC，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD，
∴4+OE＝6﹣OE，四边形ODCE是正方形，
∴OE＝1，CE＝CD＝OE，
∴点C坐标为（1，﹣1）．
综上可知点C坐标为：（5，5）或 （1，﹣1）．
故答案为：（5，5）或 （1，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的判定和性质，注意分类思想的运用，有一定的难度．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）请写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）在x轴上找出点P，使得BP+CP的值最小．（保留作图痕迹）
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据图形可得三点的坐标；
（3）作B点关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于P点．
【解答】解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示A1，B1，C1的坐标分别为（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（﹣3，﹣3）．
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，
17．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．求∠DAC和∠BOA的度数．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠DAC＝90°﹣60°＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAO＝BAC＝25°，∠ABO＝ABC＝35°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°，
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BAO＝BAC＝25°，
∵∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°，BF平分∠ABC，
∴∠ABO＝ABC＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝125°
故∠DAC和∠BOA的度数分别为20°和125°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD＝DC．
【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB；
（2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B＝∠C＝30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA＝DB，则∠DAB＝∠B＝30°，接着计算出∠CAD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝CD，从而得到结论．
∴BD＝CD．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝CD，
∴BD＝CD．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
19．（9分）如图，OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为16，BC长为8，求△ABC的周长．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO＝∠CBO，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBO＝∠EOB，从而得到∠ABO＝∠EOB，根据等角对等边可得BE＝OE，同理可证CF＝OF，然后求出△AEF的周长＝AB+AC，最后根据三角形的周长的定义解答．
【解答】解：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠EBO，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴BE＝OE，
同理可得，CF＝OF，
∵△AEF的周长为16，
∴AE+OE+OF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝16，
∵BC＝8，
∴△ABC的周长＝16+8＝24．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并求出△AEF的周长＝AB+AC是解题的关键，也是本题的难点．
20．（9分）如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．试判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由．
【分析】证明△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，然后利用直角三角形两个锐角互余得∠ACO+∠AOC＝90°，再等量代换即可解决问题．
【解答】解：结论：BD＝CE，BD⊥CE，
理由：如图，设AB，BD与CE交于点O，Q，
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵∠ACO+∠AOC＝90°，
∴∠OBQ+∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解决本题的关键是得到△ABD≌△ACE．
21．（10分）小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为0.9m，已知∠BOC＝90°，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E．
（1）求证：△CEO≌△ODB；
（2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？
【分析】（1）由∠CEO＝∠ODB＝∠BOC＝90°，推导出∠COE＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，而CO＝OB，即可根据“AAS”证明△CEO≌△ODB；
（2）由点B到OA的水平距离为0.9m，可知BD＝0.9m，由全等三角形的性质得OE＝BD＝0.9m，而EM＝0.9m，所以OM＝1.8m＜2m，可知小丽所在公园的秋千高度设置合理．
【解答】（1）证明：根据题意得CO＝OB，
∵CE⊥OA于点E，BD⊥OA于点D，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
在△CEO和△ODB中，
，
∴△CEO≌△ODB（AAS）．
（2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理，
理由：∵点B到OA的水平距离为0.9m，BD⊥OA于点D，
∴BD＝0.9m，
由（1）得△CEO≌△ODB，
∴OE＝BD＝0.9m，
∵EM＝0.9m，
∴OM＝OE+EM＝0.9+0.9＝1.8（m），
∵1.8m＜2m，
∴小丽所在公园的秋千高度设置合理．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠COE＝∠OBD并且适当选择全等三角形的判定定理证明△CEO≌△ODB是解题的关键．
22．（9分）下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）嘉淇的“办法1”可由作法判断△OMC≌△ONC，因为全等三角形的对应角相等，所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠AOB．请直接写出判断△OMC≌△ONC的依据是 SSS ；
（2）请说明嘉淇的办法2的合理性．
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）根据SAS证明三角形全等即可．
【解答】解：（1）在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC，
∴射线OC平分∠AOB．
故答案为：SSS；
（2）由题意，得CM＝CN，∠OCM＝∠OCN＝90°，OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC（SAS）
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC平分∠AOB．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的应用，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．（12分）【问题初探】
（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，求证：CD＝CE．
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到CD＝CE．
②如图3，小颖同学从平分90°的条件出发给出另一种解题思路：过C作CF⊥OC，交OB于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到CD＝CE．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，求证：CD＝CE．
【学以致用】
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC边的中点，∠EDF＝120°，DE与AB边相交于点E，DF与AC边相交于点F．请直接写出线段BE，CF和AB的数量关系．
【分析】（1）①过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，可推出∠CMD＝∠CNE＝90°，CM＝CN，∠MDC＝∠OEC，从而△CMD≌△CNE，从而CD＝CE；
②过点C作CF⊥OC，交OB于点F，可证得△DOC≌△EFC，从而CD＝CE；
（2）过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，同理①可证得△CMD≌△CNE，从而得出CD＝CE；
（3）取AC的中点G，连接DG，可推出△ABC是等边三角形，从而AC＝BC，∠B＝∠C＝60°，进而证得△CDG是等边三角形，从而∠DGC＝60°，DG＝CD＝BD，从而∠DGC＝∠B，可证得∠AED+∠AFD＝180°，进而得出∠BED＝∠AFD，从而△BED≌△GFD，进一步得出结论．
【解答】（1）解：①选择小强同学的解题思路，
证明：过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，
∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，
∴CM＝CN，
在四边形CDOE中，∠DOE＝∠DCE＝90°，
∴∠ODC+∠OEC＝180°，
又∠ODC+∠MDC＝180°，
∴∠MDC＝∠OEC，
∴△CMD≌△CNE（AAS），
∴CD＝CE，
②选择小颖同学的解题思路，
证明：过点C作CF⊥OC，交OB于点F，
∴∠FCE+∠OCE＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠OCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCD＝∠FCE，
又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，，
∴∠EFC＝90°﹣∠COE＝45°，
∴∠DOC＝∠EFC，∠BOC＝∠EFC，
∴CO＝CF，
∴△DOC≌△EFC（ASA），
∴CD＝CE；
（2）证明：如图1，
过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，
∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，
∴CM＝CN，
在四边形CDOE中，
∠AOB＝2∠DCE＝120°，∠DCE＝60°，
∴∠CDO+∠CEO＝360°﹣∠AOB﹣∠DCE＝180°，
又∵∠CDO+∠CDM＝180°，
∴∠CDM＝∠CEO，
∴△CMD≌△CNE（AAS），
∴CD＝CE；
（3）解：如图2，
BE+CF＝，理由如下：
取AC的中点G，连接DG，
∴CG＝AC，
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠C＝60°，
∵D是BC的中点，
∴CD＝，
∴CG＝CD，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠DGC＝60°，DG＝CD＝BD，
∴∠DGC＝∠B，
∵∠A+∠EDF＝60°+120°＝180°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，
∵∠BED+∠AED＝180°，
∴∠BED＝∠AFD，
∴△BED≌△GFD（AAS），
∴FG＝BE，
∴FG+CF＝BE+CF＝CG＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．执“规”“矩”等分已知角
《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的360°角．
要研究等分360°角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？

办法1
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC．
射线OC即为∠AOB的平分线．

办法2
①两个“矩”如图放置，顶点重合于C，一边重合于直线CP；
②以点C为圆心，任意长为半径作弧，交CD于点M，交CE于点N；
③使点M在射线OA上，点N在射线OB上，调整“矩”直至直线CP经过点O．
射线OC即为∠AOB的平分线．

经过测量，上述两种办法得到的∠AOC与∠BOC相等，验证OC平分∠AOB成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证．
执“规”“矩”等分已知角
《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的360°角．
要研究等分360°角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？

办法1
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC．
射线OC即为∠AOB的平分线．

办法2
①两个“矩”如图放置，顶点重合于C，一边重合于直线CP；
②以点C为圆心，任意长为半径作弧，交CD于点M，交CE于点N；
③使点M在射线OA上，点N在射线OB上，调整“矩”直至直线CP经过点O．
射线OC即为∠AOB的平分线．

经过测量，上述两种办法得到的∠AOC与∠BOC相等，验证OC平分∠AOB成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证．