河北省石家庄市第九中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题
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这是一份河北省石家庄市第九中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题,共32页。
1.(3分)下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.﹣3x+2=0B.2x2+y﹣1=0
C.2x﹣3y+1=0D.x2﹣x﹣3=0
2.(3分)现有50个苹果重量如下:则这些苹果重量的众数和中位数分别是( )
A.140,120B.140,130C.17,16D.17,130
3.(3分)如图,修建抽水站时,沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道.下列等式成立的是( )
A.sinα=B.csα=C.tanα=D.tanα=2
4.(3分)如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9=0,有一个解是0,那么m的值是( )
A.3B.﹣3C.±3D.0或﹣3
5.(3分)如图,在菱形ABCD中,E为边CD上一点,AE、BD交于点O.若S△DOE:S△BOA=4:9,则CE:AD等于( )
A.4:9B.1:3C.2:3D.3:2
6.(3分)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.(3分)下列命题正确的有( )
(1)相等的圆心角所对的弧相等;
(2)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(3)直径所对的圆周角是直角;
(4)圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴.
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.(3分)随着中考结束,某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念,全班共送出了812张照片.若该班有x名同学,则根据题意可列出方程为( )
A.x(x﹣1)=812B.x(x+1)=812
C.2x(x﹣1)=812D.
9.(3分)点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数y=的图象上,若x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3B.y3>y2>y1C.y2>y1>y3D.y3>y1>y2
10.(3分)已知△ABC在网格中的位置如图,那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是( )
A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)
11.(2分)如图,已知△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形,其中∠A=60°,∠B=75°,则AB的长度为( )
A.B.C.D.
12.(2分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A.B.2C.2D.8
13.(2分)如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则∠AED的正切值是( )
A.B.C.D.
14.(3分)在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比为2:1,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是( )
A.(﹣2,1)B.(﹣8,4)
C.(﹣2,1)或(2,﹣1)D.(﹣8,4)或(8,﹣4)
15.(2分)如图,将矩形ABCO放在直角坐标系中,其中顶点B的坐标为(10,8),E是BC边上一点,将△ABE沿AE折叠,点B刚好与OC边上点D重合,过点E的反比例函数y=的图象与边AB交于点F,则线段AF的长为( )
A.B.2C.D.
16.(2分)如图,正方形ABCD的边长为2,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ,给出如下结论:①DQ=2;②;③S△PDQ=;④,下列结论正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(17、18题每题3分,19题每空2分,共10分)
17.(3分)如图,点A是反比例函数y=的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为3,则k的值是 .
18.(3分)一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数,那么x= .
19.(3分)如图,在直角坐标系中,A(3,0),B(0,),则:
(1)∠ABO= °;
(2)若D(m,)(m>0),把Rt△AOB沿着AB翻折得到Rt△AEB,若tan∠AED=,则线段DE的长度为 .
三、解答题
20.(12分)解下列方程:
(1)2x2﹣3x+1=0;
(2)(x+3)2=2x+6;
(3)计算:2sin30°﹣4sin45°•cs45°+tan260°.
21.(8分)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求⊙O的半径.
22.(8分)王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图:
(1)根据图中提供的数据列出如下统计表:
则a= ,b= ,c= ,d= ,
(2)将90分以上(含90分)的成绩视为优秀,则优秀率高的是 .
(3)现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛,你可以根据以上的数据给老师哪些建议?
23.(11分)一次函数y1=kx+b与反比例函数为交于点A(1,3),B(3,m).
(1)分别求两个函数的解析式;
(2)根据图象直接写出,当y1<y2时,x的取值范围;
(3)在坐标轴上找一点P,使得△OAP的面积为6,求出P点坐标.
24.(8分)如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可旋转180°,CD处可摆放平板或者手机.其中AB=91mm,BC=75mm,CD=80mm.研究表明,当手机(CD)与桌面的夹角为55°时,更符合人体工学设计,也是多数人操作手机最舒适的角度.
(1)如图2,当AB和桌面垂直且BC⊥CD时,可将BC绕点B旋转一定的角度,就能达到最舒适的观影状态,求此时∠CBA的度数;
(2)在(1)的条件下求点D到AB的距离(结果保留整数).(参考数据:sin35°≈0.57,cs35°≈0.82,tan35°≈0.70.)
25.(9分)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
26.(12分)如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,点E是AB边上一点,且点E不与A、B重合,ED⊥AC于点D.
(1)当sinB=时,
①求证:BE=2CD;
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时(60°<∠CAD<90°),BE=2CD是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(2)当sinB=时,将△ADE绕点A旋转到∠DEB=90°,若AC=10,AD=2,请直接写出线段CD的长.
2024-2025学年河北省石家庄九中九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(1-10题每题3分,11-16题每题2分,共42分)
1.(3分)下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.﹣3x+2=0B.2x2+y﹣1=0
C.2x﹣3y+1=0D.x2﹣x﹣3=0
【答案】D
【分析】一元二次方程有三个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.
同时满足以上三条的方程就是一元二次方程.
【解答】解:A、不是整式方程,故错误;
B、有两个未知数,故错误;
C、有两个未知数,故错误;
D、x2﹣x﹣3=0符合要求.
故选:D.
2.(3分)现有50个苹果重量如下:则这些苹果重量的众数和中位数分别是( )
A.140,120B.140,130C.17,16D.17,130
【答案】B
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,则中间的数(或中间两个数据的平均数)就是这组数据的中位数解答即可.
【解答】解:∵总数为50,
∴中位数为第25和26个数的平均值,
∴中位数为(120+140)÷2=130,
∵140g的有17个,最多,
∴众数为140.
故选:B.
3.(3分)如图,修建抽水站时,沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道.下列等式成立的是( )
A.sinα=B.csα=C.tanα=D.tanα=2
【答案】C
【分析】根据坡度的定义解答,坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比.
【解答】解:根据坡度的定义可知tanα==.
故选:C.
4.(3分)如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9=0,有一个解是0,那么m的值是( )
A.3B.﹣3C.±3D.0或﹣3
【答案】B
【分析】把x=0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9=0中,解关于m的一元二次方程,注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0.
【解答】解:把x=0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9=0中,得
m2﹣9=0,
解得m=﹣3或3,
当m=3时,原方程二次项系数m﹣3=0,舍去,
故选:B.
5.(3分)如图,在菱形ABCD中,E为边CD上一点,AE、BD交于点O.若S△DOE:S△BOA=4:9,则CE:AD等于( )
A.4:9B.1:3C.2:3D.3:2
【答案】B
【分析】先根据菱形的性质及相似三角形的判定定理得出△DOE∽△BOA,再根据S△DOE:S△BOA=4:9即可得出相似比,由相似三角形的性质即可求出DE:BA的值,由AB=AD=CD=BC即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AB=AD=CD=BC,
∴∠EAB=∠DEA,∠AOB=∠EOD,∠EDB=∠ABD,
∴△DOE∽△BOA,
∵S△DOE:S△BOA=4:9,
∴DE:BA=2:3,
∴CE:AD=1:3,
故选:B.
6.(3分)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】D
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果.
【解答】解:x2﹣2x﹣8=0,
x2﹣2x=8,
x2﹣2x+1=8+1,
(x﹣1)2=9,
∴x﹣1=±3
解得:x1=4,x2=﹣2,
由上可得,丁同学是错的,
故选:D.
7.(3分)下列命题正确的有( )
(1)相等的圆心角所对的弧相等;
(2)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(3)直径所对的圆周角是直角;
(4)圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴.
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】D
【分析】根据圆心角与弧的关系,圆周角定理,垂径定理等知识对各个命题进行分析,从而得到答案.
【解答】解:(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧才相等,故(1)错误;
(2)平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,故(2)错误;
(3)直径(或半圆)所对的圆周角是直角,故(3)正确;
(4)圆的直径是一条线段,而圆的对称轴是一条直线,故(4)错误;
所以正确的结论只有一个,故选D.
8.(3分)随着中考结束,某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念,全班共送出了812张照片.若该班有x名同学,则根据题意可列出方程为( )
A.x(x﹣1)=812B.x(x+1)=812
C.2x(x﹣1)=812D.
【答案】A
【分析】若该班有x名同学,那么每名学生送照片(x﹣1)张,全班应该送照片x(x﹣1),根据题意列方程即可.
【解答】解:若该班有x名同学,那么每名学生送照片(x﹣1)张,全班应该送照片x(x﹣1)张,
则可列方程为:x(x﹣1)=812.
故选:A.
9.(3分)点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数y=的图象上,若x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3B.y3>y2>y1C.y2>y1>y3D.y3>y1>y2
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再根据x1<x2<0<x3,判断出三点所在的象限,再根据函数的增减性即可得出结论.
【解答】解:∵反比例函数y=中,k=π>0,
∴此函数图象的两个分支在一、三象限,
∵x1<x2<0<x3,
∴A、B在第三象限,点C在第一象限,
∴y1<0,y2<0,y3>0,
∵在第三象限y随x的增大而减小,
∴y1>y2,
∴y3>y1>y2.
故选:D.
10.(3分)已知△ABC在网格中的位置如图,那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是( )
A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)
【答案】A
【分析】如图,作线段AB,BC的垂直平分线交于点O′,点O′即为△ABC的外接圆的圆心.
【解答】解:如图,作线段AB,BC的垂直平分线交于点O′,点O′即为△ABC的外接圆的圆心,O′(2,0).
故选:A.
11.(2分)如图,已知△ABC是半径为1的⊙O的内接三角形,其中∠A=60°,∠B=75°,则AB的长度为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】连接AO,BO,先根据三角形的内角和求出∠C=45°,再根据圆周角定理求出∠AOB=2∠C=90°,最后根据勾股定理即可求出AB.
【解答】解:连接AO,BO,
∵∠A=60°,∠B=75°,
∴∠C=180°﹣60°﹣75°=45°,
∴∠AOB=2∠C=90°,
∵AO=BO=1,
∴,
故选:D.
12.(2分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A.B.2C.2D.8
【答案】C
【分析】作OH⊥CD于H,连接OC,如图,根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD,再利用AP=2,BP=6可计算出半径OA=4,则OP=OA﹣AP=2,接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1,然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=,所以CD=2CH=2.
【解答】解:作OH⊥CD于H,连接OC,如图,
∵OH⊥CD,
∴HC=HD,
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,
∴OA=4,
∴OP=OA﹣AP=2,
在Rt△OPH中,∵∠OPH=∠APC=30°,
∴∠POH=60°,
∴OH=OP=1,
在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,
∴CH==,
∴CD=2CH=2.
故选:C.
13.(2分)如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则∠AED的正切值是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED,在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数的定义求出tan∠ABC的值,即为tan∠AED的值.
【解答】解:由同弧所对的圆周角相等可得:∠ABC=∠AED,
在直角三角形ABC中,tan∠ABC==,
∴tan∠AED=tan∠ABC=,
故选:C.
14.(3分)在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比为2:1,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是( )
A.(﹣2,1)B.(﹣8,4)
C.(﹣2,1)或(2,﹣1)D.(﹣8,4)或(8,﹣4)
【答案】C
【分析】由在直角坐标系中,点E(﹣4,2),F(﹣2,﹣2),以O为位似中心,按2:1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O,利用位似图形的性质,即可求得点E的对应点E′的坐标.
【解答】解:∵点E(﹣4,2),以O为位似中心,按2:1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O,
∴点E的对应点E′的坐标为:(2,﹣1)或(﹣2,1).
故选:C.
15.(2分)如图,将矩形ABCO放在直角坐标系中,其中顶点B的坐标为(10,8),E是BC边上一点,将△ABE沿AE折叠,点B刚好与OC边上点D重合,过点E的反比例函数y=的图象与边AB交于点F,则线段AF的长为( )
A.B.2C.D.
【答案】A
【分析】首先根据翻折变换的性质,可得AD=AB=10,DE=BE;然后设点E的坐标是(10,b),在Rt△CDE中,根据勾股定理,求出CE的长度,进而求出k的值是多少;最后用k的值除以点F的纵坐标,求出线段AF的长为多少即可.
【解答】解:∵△ABE沿AE折叠,点B刚好与OC边上点D重合,
∴AD=AB=10,DE=BE,
∵AO=8,AD=10,
∴OD=,CD=10﹣6=4,
设点E的坐标是(10,b),
则CE=b,DE=8﹣b,
∵CD2+CE2=DE2,
∴42+b2=(8﹣b)2,
解得b=3,
∴点E的坐标是(10,3),
∴k=10×3=30,
∴线段AF的长为:
30.
故选:A.
16.(2分)如图,正方形ABCD的边长为2,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ,给出如下结论:①DQ=2;②;③S△PDQ=;④,下列结论正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】①连接OQ,OD,如图1.易证四边形DOBP是平行四边形,从而可得DO∥BP.结合OQ=OB,可证到∠AOD=∠QOD,从而证到△AOD≌△QOD,则有DQ=DA=2;
②连接AQ,如图2,根据勾股定理可求出BP.易证Rt△AQB∽Rt△BCP,运用相似三角形的性质可求出BQ,从而求出PQ的值,就可得到的值;
③过点Q作QH⊥DC于H,如图3.易证△PHQ∽△PCB,运用相似三角形的性质可求出QH,从而可求出S△DPQ的值;
④过点Q作QN⊥AD于N,如图4.易得DP∥NQ∥AB,根据平行线分线段成比例可得,把AN=2﹣DN代入,即可求出DN,然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义,就可求出cs∠ADQ的值.
【解答】解:①连接OQ,OD,如图1.
∵点P是CD中点,正方形ABCD,
∴DP∥OB,DP=OB,
∴四边形DOBP是平行四边形,
∴DO∥BP,
∴∠BQO=∠DOQ,∠QBO=∠AOD,
∵OQ=OB,
∴∠OBQ=∠BQO,
∴∠AOD=∠QOD,
∵OA=OQ,OD=OD,
∴△AOD≌△QOD(SAS),
则有DQ=DA=2.
故①正确;②连接AQ,如图2.
则有,.
∵Rt△AQB∽Rt△BCP,
∴,
∴,
∴.
故②正确;③过点Q作QH⊥DC于H,如图3.
∵△PHQ∽△PCB,
∴QH=,
∴S△DPQ=DP•QH=×=.
故③正确;
④过点Q作QN⊥AD于N,如图4.
∵DP∥NQ∥AB,
,
则有,
解得:.
由DQ=1,得.
故④正确.
综上所述:正确结论是①②③④.
故答案为:D.
二、填空题(17、18题每题3分,19题每空2分,共10分)
17.(3分)如图,点A是反比例函数y=的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B.点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为3,则k的值是 ﹣6 .
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OA,如图,利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3,再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.
【解答】解:连接OA,如图,
∵AB⊥x轴,
∴OC∥AB,
∴S△OAB=S△CAB=3,
而S△OAB=|k|,
∴|k|=3,
∵k<0,
∴k=﹣6.
故答案为:﹣6.
18.(3分)一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数,那么x= ﹣1,4或9 .
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平均数的计算公式先表示出这组数据的平均数,再根据中位数的定义进行讨论,即可得出答案.
【解答】解:∵数据2、3、5、6、x的平均数是=,
∴当x=﹣1时,这组数据的平均数是3,中位数也是3;
当x=4时,这组数据的平均数是4,中位数也是4;
当x=9时,这组数据的平均数是5,中位数也是5;
∴x=﹣1,4或9;
故答案为:﹣1,4或9.
19.(3分)如图,在直角坐标系中,A(3,0),B(0,),则:
(1)∠ABO= 60 °;
(2)若D(m,)(m>0),把Rt△AOB沿着AB翻折得到Rt△AEB,若tan∠AED=,则线段DE的长度为 .
【答案】见试题解答内容
【分析】设BD交AE于点F,过D作DG⊥AE于G,首先根据A,B,D的坐标可得出∠OAB=30°,BF∥OA,从而∠EBD=∠EBA﹣∠DBA=60°﹣30°=30°,得出EF=1,BF=2,AF=2,设,利用勾股定理得,FG=EF﹣EG=1﹣2x,再根据,列出方程即可.
【解答】解:设BD交AE于点F,过点D作DG⊥AE于点G,
∵∠AOB=90°,,OA=3,
∴,AB==2,
∴∠OAB=30°,∠ABO=60°,
∵BF∥OA,
∴∠DBA=∠BAO=30°,
∵∠OBA=∠EBA=60°,
∴∠EBD=∠EBA﹣∠DBA=30°,
∵,
∴EF=1,,AF=AE﹣EF=2,
∵,
设,
∴EG=2x,
∴,FG=EF﹣EG=1﹣2x,
∵∠FAB=∠OAB=30°,BF∥OA,
∴∠BFE=∠OAF=60°,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
故答案为:60,.
三、解答题
20.(12分)解下列方程:
(1)2x2﹣3x+1=0;
(2)(x+3)2=2x+6;
(3)计算:2sin30°﹣4sin45°•cs45°+tan260°.
【答案】(1)x1=,x2=1;
(2)x1=﹣3,x2=﹣1;
(3)2.
【分析】(1)利用因式分解法求解即可;
(2)利用因式分解法求解即可;
(3)将三角函数值代入,再进一步计算即可.
【解答】解:(1)∵2x2﹣3x+1=0,
∴(2x﹣1)(x﹣1)=0,
则2x﹣1=0或x﹣1=0,
解得x1=,x2=1;
(2)∵(x+3)2=2x+6,
∴(x+3)2﹣2(x+3)=0,
则(x+3)(x+1)=0,
∴x+3=0或x+1=0,
解得x1=﹣3,x2=﹣1;
(3)原式=2×﹣4××+()2
=1﹣2+3
=2.
21.(8分)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求⊙O的半径.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立;
(2)根据直角三角形的性质和圆周角定理,可以得到AB的长,从而可以得到⊙O的半径.
【解答】(1)证明:∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,
∴△AEC∽△DEB;
(2)解:∵∠C=∠B,∠C=30°,
∴∠B=30°,
∵AB是⊙O的直径,AD=3,
∴∠ADB=90°,
∴AB=6,
∴⊙O的半径为3.
22.(8分)王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图:
(1)根据图中提供的数据列出如下统计表:
则a= 80 ,b= 80 ,c= 90 ,d= 60 ,
(2)将90分以上(含90分)的成绩视为优秀,则优秀率高的是 张伟 .
(3)现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛,你可以根据以上的数据给老师哪些建议?
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据平均数、中位数和众数的定义分别求解可得;
(2)根据提供数据,可以分别求出两人的优秀率,即可得出答案;
(3)可以从两人平均成绩和优秀率得出答案.
【解答】解:(1)王华10次成绩分别为:80,70,90,80,70,90,70,80,90,80;
按大小顺序排列为:70,70,70,80,80,80,80,90,90,90;
则中位数b=80;
方差d=×[(80﹣80)2×4+(70﹣80)2×3+(90﹣80)2×3]=60;
张伟的平均成绩a==80(分),
90出现了3次,出现的次数最多,则众数c=90;
故答案为:80,80,90,60;
(2)王华的优秀率为:×100%=30%,
张伟的优秀率为:×100%=50%,
则张伟的优秀率高.
故答案为:张伟;
(3)∵王华与张伟的平均成绩相同,而张伟的优秀率高于王华,
∴可以选张伟参加竞赛.
23.(11分)一次函数y1=kx+b与反比例函数为交于点A(1,3),B(3,m).
(1)分别求两个函数的解析式;
(2)根据图象直接写出,当y1<y2时,x的取值范围;
(3)在坐标轴上找一点P,使得△OAP的面积为6,求出P点坐标.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)首先将A,B两点坐标代入反比例函数解析式,得出m,n的值,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)观察图象,写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时,x的取值范围即可;
(3)分两种情况讨论,设出P点坐标,再根据三角形的面积求解即可.
【解答】解:(1)∵一次函数y1=kx+b与反比例函数为交于点A(1,3),B(3,m).
∴1×3=3m,解得m=1,
∴反比例函数的解析式为,
∴B(3,1),
将A,B两点坐标代入y1=kx+b,得,
解得,
∴一次函数解析式为y1=﹣x+4,
∴两个函数的解析式分别为y1=﹣x+4,;
(2)根据题意得,一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求,此时x的范围是:0<x<1或x>3;
(3)当P在x轴上时,
设P(s,0),
∵△OAP的面积为6,
∴,
∴s=±4,
∴P点坐标为(4,0)或(﹣4,0),
当P在y轴上时,
设P(0,t),
∵△OAP的面积为6,
∴,
∴t=±12,
∴P点坐标为(0,12)或(0,﹣12),
综上所述,P点的坐标为(4,0)或(﹣4,0)或(0,12)或(0,﹣12).
24.(8分)如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可旋转180°,CD处可摆放平板或者手机.其中AB=91mm,BC=75mm,CD=80mm.研究表明,当手机(CD)与桌面的夹角为55°时,更符合人体工学设计,也是多数人操作手机最舒适的角度.
(1)如图2,当AB和桌面垂直且BC⊥CD时,可将BC绕点B旋转一定的角度,就能达到最舒适的观影状态,求此时∠CBA的度数;
(2)在(1)的条件下求点D到AB的距离(结果保留整数).(参考数据:sin35°≈0.57,cs35°≈0.82,tan35°≈0.70.)
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)过点D作DE⊥AB于E,根据题意可得:∠CDE=55°,∠DEB=90°,再根据垂直定义可得∠C=90°,然后利用四边形内角和定理进行计算,即可解答;
(2)过点C作CF⊥DE于F,过点B作BG⊥CF于G,根据垂直定义可得∠DFC=∠BGC=90°,再根据题意可得:BG=EF,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DCF=35°,从而可得∠BCG=55°,进而可得∠CBG=35°,最后分别在Rt△CDF和Rt△BCG中,利用锐角三角函数的定义求出DF和BG的长,从而利用线段的和差关系进行计算即可解答.
【解答】解:(1)过点D作DE⊥AB于E,
由题意得:∠CDE=55°,∠DEB=90°,
∵DC⊥BC,
∴∠C=90°,
∴∠ABC=360°﹣∠C﹣∠DEB﹣∠CDE=125°,
∴此时∠CBA的度数为125°;
(2)过点C作CF⊥DE于F,过点B作BG⊥CF于G,
∴∠DFC=∠BGC=90°,
由题意得:BG=EF,
∵∠CDE=55°,
∴∠DCF=90°﹣∠CDE=35°,
∵∠DCB=90°,
∴∠BCG=∠DCB﹣∠DCF=55°,
∴∠CBG=90°﹣∠BCG=35°,
在Rt△CDF中,CD=80mm,
∴DF=DC•sin35°≈80×0.57=45.6(mm),
在Rt△BCG中,BC=75mm,
∴BG=BCcs35°≈75×0.82=61.5(mm),
∴DE=DF+EF=DF+BG=45.6+61.5≈107(mm),
答:点D到AB的距离约为107mm.
25.(9分)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据日利润=每件利润×日销售量,可求出售价为60元时的原利润,设售价应定为x元,则每件的利润为(x﹣40)元,日销售量为20+=(140﹣2x)件,根据日利润=每件利润×日销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)设该商品需要打a折销售,根据销售价格不超过50元,列出不等式求解即可.
【解答】解:(1)设售价应定为x元,则每件的利润为(x﹣40)元,日销售量为20+=(140﹣2x)件,
依题意,得:(x﹣40)(140﹣2x)=(60﹣40)×20,
整理,得:x2﹣110x+3000=0,
解得:x1=50,x2=60(舍去).
答:售价应定为50元;
(2)该商品需要打a折销售,
由题意,得,62.5×≤50,
解得:a≤8,
答:该商品至少需打8折销售.
26.(12分)如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,点E是AB边上一点,且点E不与A、B重合,ED⊥AC于点D.
(1)当sinB=时,
①求证:BE=2CD;
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时(60°<∠CAD<90°),BE=2CD是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(2)当sinB=时,将△ADE绕点A旋转到∠DEB=90°,若AC=10,AD=2,请直接写出线段CD的长.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)先根据锐角三角函数求出∠B,进而求出∠A=60°,
①先判断出EH=CD,再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论;
(2)①先求出AD=AF=EF=2,再求出AB=10,进而利用勾股定理求出BF==6,得出BE=BF﹣EF=4,最后判断出△ACD∽△ABE,即可得出结论;
②同①的方法即可得出结论.
【解答】解:(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,
∴∠B=30°,
∴∠A=60°,
①如图1,过点E作EH⊥BC于点H,
∵ED⊥AC
∴∠ADE=∠C=90°,
∴四边形CDEH是矩形,即EH=CD,
∴在Rt△BEH中,∠B=30°,
∴BE=2EH
∴BE=2CD;
②BE=2CD成立,
理由:∵△ABC和△ADE都是直角三角形,
∴∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠CAD=∠BAE,
又∵,,
∴,
∴△ACD∽△ABE,
∴,
又∵Rt△ABC中,=2,
∴=2,
即BE=2CD;
(2)∵sinB=,
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=45°,
∵ED⊥AD,
∴∠AED=∠BAC=45°,
∴AD=DE,AC=BC,
将△ADE绕点A旋转∠DEB=90°,分两种情况:
①如图3所示,过A作AF⊥BE交BE的延长线于F,则∠F=90°,
当∠DEB=90°时,∠ADE=∠DEF=90°,
又∵AD=DE,
∴四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF=EF=2,
∵AC=10=BC,
根据勾股定理得,AB=10,
在Rt△ABF中,BF==6,
∴BE=BF﹣EF=4,
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形,
且∠BAC=∠EAD=45°,
∴∠CAD=∠BAE,
∵,,
∴,
∴△ACD∽△ABE,
∴=,即=,
∴CD=2;
②如图4所示,过A作AF⊥BE于F,则∠AFE=∠AFB=90°,
当∠DEB=90°时,∠DEB=∠ADE=90°,
又∵AD=ED,
∴四边形ADEF是正方形,
∴AD=EF=AF=2,
又∵AC=10=BC,
∴AB=10,
在Rt△ABF中,BF==6,
∴BE=BF+EF=8,
又∵△ACD∽△ABE,
∴=,即=,
∴CD=4,
综上所述,线段CD的长为2或4.
重量(g)
100
120
140
160
数量(个)
10
15
17
8
平均成绩(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(S2)
王华
80
b
80
d
张伟
a
85
c
260
重量(g)
100
120
140
160
数量(个)
10
15
17
8
平均成绩(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(S2)
王华
80
b
80
d
张伟
a
85
c
260