贵州省贵阳市云岩区联盟校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份贵州省贵阳市云岩区联盟校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（ ）
A．3.85×106B．3.85×105C．38.5×105D．0.385×106
3．（3分）方程2x2﹣4x﹣2＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2和3B．1和﹣3C．2和﹣4D．2和﹣3
4．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A．1.65米，1.65米B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米D．1.50米，1.60米
5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（ ）
A．70°B．40°C．75°D．30°
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9
7．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
8．（3分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个B．15个C．18个D．20个
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
10．（3分）在下列4个判断中正确的是（ ）
A．如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形具有矩形的性质，又具有菱形的性质
D．四边相等的四边形是正方形
11．（3分）直线y1＝ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），关于x的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x≤﹣2D．x≥﹣2
12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1B．C．0D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：a2﹣9＝ ．
14．（4分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是偶数的概率是 ．
15．（4分）若关于x的一元二次方程mx2+x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（本大题9小题，共98分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：（a+2）2+（1+a）（1﹣a）其中．
18．（10分）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人．
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
19．（10分）列方程（组）解应用题．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
20．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
21．（12分）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
22．（10分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的销售量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长．
24．（12分）[阅读理解]我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，可以用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如：求x2+6x+1的最小值问题．
解：∵x2+6x+1＝x2+6x+9﹣9+1＝（x+3）2﹣8
∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣8≥﹣8，
∴x2+6x+1的最小值为﹣8．
[类比应用]请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）类比：x2+4x+6的最小值为 ．
（2）探究：代数式﹣x2+2x有最 （填“大”或“小”）值为 ．
（3）拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
25．（12分）如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
2024-2025学年贵州省贵阳市云岩区联盟校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（ ）
A．3.85×106B．3.85×105C．38.5×105D．0.385×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将数据385000用科学记数法表示为：3.85×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）方程2x2﹣4x﹣2＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2和3B．1和﹣3C．2和﹣4D．2和﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，进行作答即可．
【解答】解：方程 2x2﹣4x﹣2＝0的二次项系数和一次项系数分别为2和﹣4，故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的一般式，关键是一元二次方程一般形式的熟练掌握．
4．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A．1.65米，1.65米B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米D．1.50米，1.60米
【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：由表可知1.65m出现次数最多，有5次，所以众数为1.65m，
这15个数据最中间的数据是第8个，即1.65m，所以中位数为1.65m，
故选：A．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（ ）
A．70°B．40°C．75°D．30°
【分析】利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝40°．
∵BA＝BE，∴∠BAE＝＝70°．
故选：A．
【点评】本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9
【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．
【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
∴（x﹣1）2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键．
7．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7，
∴AB＝7﹣1＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点，
∴CD＝AB＝×6＝3（cm），
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个B．15个C．18个D．20个
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有30﹣12＝18个；
故选：C．
【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握：经过大量重复实验后，频率会稳定在一个常数，就可以估计这个事件发生的概率．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以+＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．（3分）在下列4个判断中正确的是（ ）
A．如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形具有矩形的性质，又具有菱形的性质
D．四边相等的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、菱形的判定、正方形、梯形的性质分别对每个命题的真假进行判断即可．
【解答】解：A．如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故A选项错误；
B．对角线互相垂直的四边形是菱形，故B选项错误；
C．正方形既具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，故C选项正确；
D．四边相等的四边形是菱形，故D选项错误；
所以其中正确的命题是C；
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、菱形的判定、正方形、梯形的性质，关键是能够根据有关判定和性质对命题是否正确做出判断．
11．（3分）直线y1＝ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），关于x的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x≤﹣2D．x≥﹣2
【分析】根据图象，找直线y1在y2上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知：两条直线的交点横坐标为﹣2，
由知，直线y1在直线y2的上方，
∵当x＜﹣2时，直线l1在直线l2的上方，
∴关于x的不等式的解集为x＜﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键．
12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1B．C．0D．
【分析】过点C作AE的垂线，垂足为点F，在直角三角形ACF和直角三角形BCF中，运用勾股定理可以求出AC的长，进而解决问题．
【解答】解：如图，过点C作AE的垂线，垂足为点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，AC平分∠DAB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°．
∴∠CAB＝∠DAB＝30°．
∴AC＝2CF．
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝1，
∴CF＝，
∴AC＝2CF＝2，
∴AE＝AC＝2．
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是（3﹣2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查菱形的性质和勾股定理．解决问题的关键构造直角三角形，求出AC的长．
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）分解因式：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
14．（4分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是偶数的概率是 ．
【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，朝上一面的点数是偶数的有3个，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，朝上一面的点数是偶数的有3个，
∴掷得朝上一面的点数是偶数的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）若关于x的一元二次方程mx2+x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜且m≠0． ．
【分析】构建不等式求解即可．
【解答】解：∵x的一元二次方程mx2+x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
∴m＜且m≠0．
故答案为：m＜且m≠0．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 1+ ．
【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．
【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，
∴∠BEF＝∠TEG，
∵EB＝ET，EF＝EG，
∴△EBF≌△TEG（SAS），
∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，
∴CE＝CD＝3，
∴∠CED＝∠BET＝45°，
∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，
∴CJ⊥DE，
∴JE＝JD，
∴CJ＝DE＝，
∴CG＝CJ+GJ＝1+，
∴CG的最小值为1+．
解法二：如图，延长GT交CB的延长线于点Q．
∵△ETQ是等腰直角三角形，ET＝BE＝TQ＝1，
∴QE＝，
∴QC＝QE+EC＝3+，
∵ET∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝1+．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题9小题，共98分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：（a+2）2+（1+a）（1﹣a）其中．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）；
＝2+1﹣3+1
＝1；
（2）（a+2）2+（1+a）（1﹣a）
＝a2+4a+4+1﹣a2
＝4a+5，
当时，原式＝4×（﹣）+5＝﹣6+5＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（10分）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 72 度，并将条形统计图补充完整．
（2）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 136 人．
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【分析】（1）由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：18÷15%＝120（人），
∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360°×＝72°，
∴“良好”等级的人数为120×40%＝48（人），
故答案为：72，
把条形统计图补充完整如下：
（2）340×40%＝136（人），
∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有136人；
故答案为：136；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率＝＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
19．（10分）列方程（组）解应用题．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可；
（2）由题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：商场投入资金的月平均增长率为10%；
（2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）．
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到AD∥BC，于是有∠EDO＝∠FBO，根据点O是BD的中点得出DO＝BO，结合对顶角相等利用ASA可证得△BOF和△DOE全等；
（2）由（1）△BOF≌△DOE可得BF＝DE，结合DE∥BF，可得四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（ASA）；
（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
21．（12分）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160﹣x）千克，
由题意可得：5x+9（160﹣x）＝1000，
解得x＝110，
∴160﹣x＝50，
答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进（160﹣m）千克，获得的利润为w元，
由题意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640，
∴w随m的增大而减小，
∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴160﹣m≤3m，
解得m≥40，
∴当m＝40时，w取得最大值，此时w＝600，160﹣m＝120，
答：安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22．（10分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 （40﹣x） 元，平均每天的销售量为 （20+2x） 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
【分析】（1）根据“这种玩具的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件玩具的原利润及降价x元，即可得出降价后每件玩具的利润及销量；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵每件玩具降价x元，
∴每件玩具的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件玩具应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长．
【分析】（1）证四边形ADBE是平行四边形，再证AE⊥AC，则∠OAF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠AFB＝90°，OF＝AB，所以∠BFE＝90°．又由∠E＝30°，BF＝1，由直角三角形性质得BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，由直角三角形性质得AB＝BE＝2，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE∥BD．
∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形．
∵AC⊥BD，AE∥BD
∴AE⊥AC，
∴∠OAF＝90°，
∴平行四边形AFBO是矩形．
（2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形，
∴∠AFB＝90°，OF＝AB，
∴∠BFE＝90°．
又∵∠E＝30°，BF＝1，
∴BE＝2BF＝2．
在Rt△AEC中，BE＝BC，
∴AB＝BE＝2，
∴OF＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）[阅读理解]我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，可以用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如：求x2+6x+1的最小值问题．
解：∵x2+6x+1＝x2+6x+9﹣9+1＝（x+3）2﹣8
∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣8≥﹣8，
∴x2+6x+1的最小值为﹣8．
[类比应用]请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）类比：x2+4x+6的最小值为 2 ．
（2）探究：代数式﹣x2+2x有最 大 （填“大”或“小”）值为 1 ．
（3）拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）将原式配方即可；
（2）将原式配方即可判断；
（3）设矩形花圃垂直于墙的边为x m，则另一边为（20﹣2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，即可求最大面积．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+2≥2，
∴x2﹣4x+6的最小值为2，
故答案为：2；
（2）∵﹣x2﹣2x＝﹣（x2+2x）＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+1，
又∵（x+1）2≥0，
∴﹣（x+1）2≤0，
∴﹣（x+）2+1≤1，
∴﹣x2﹣2x的最大值为1，
故答案为：大，1；
（3）设矩形花圃垂直于墙的边为x m，则另一边为（20﹣2x）m，
∴矩形的面积S＝（20﹣2x）x＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，S有最大值50，
此时，20﹣2x＝10，
∴当花圃垂直于墙的边为5m，另一长为10m时花圃面积最大，最大面积为50m2．
【点评】本题考查了二次函数以及配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
25．（12分）如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠DCE，由余角的性质可得∠DCE＝∠PCF，可得结论；
（3）由三角形中位线定理可求DF＝6，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF＝＝＝2．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键成绩/米
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
2
3
5
4
1
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
成绩/米
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
2
3
5
4
1
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13