山东省济宁市兖州区实验初级中学2024-—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省济宁市兖州区实验初级中学2024-—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
班级：______姓名：______
一、选择题（共10小题，每题3分共30分）
1. 函数中自变量x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵函数要有意义，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x=2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得各选项的对称轴，即可求解．
【详解】解：A. ，对称轴为直线，故该选项正确，符合题意；
B. ，对称轴为直线，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对称轴为轴，故该选项不正确，不符合题意；
D. 对称轴为轴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
3. 若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将点代入，求出k的值，再根据对各项进行逐一检验即可．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
∴只有点在反比例函数图象上．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上．
4. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，故，
则．
故选：C
5. 已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内，
∴，，
∴．
故选：C．
6. 如图，在中，，，，则的长是（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，过C作于D，根据三角形外角的性质可求出，则可判断是等腰直角三角形，在中，根据勾股定理可求出，在中，根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：过C作于D，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.
【详解】解：二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，
排除C选项.
一次函数，
，
一次函数经过轴正半轴，
排除A选项.
当时，则，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过轴正半轴，
排除B选项.
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过轴负半轴，
D选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.
8. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A. 4kmB. 2kmC. 2kmD. （＋1）km
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB，则AD=OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=2km.
考点：三角函数的应用
9. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A. 12B. ﹣12C. 16D. ﹣16
【答案】D
【解析】
【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值．
【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y在第二象限，
∴k=-16，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|．
10. 如图，正方形是上的点且，连接交于点G，连接．若是等腰三角形，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过D作于H，证明，可得，即可证，故是等腰三角形，，再证，可得，从而．
【详解】解：过D作于H，如图：

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E在上，
∴是等腰三角形，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（共5小题，每题3分共15分）
11. 二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标为．根据二次函数顶点式的性质即可进行解答．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：.
12. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键．
先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m，
∴（米），
∴，
∵背水坡CD的坡度，，
∴，
∴，
∴（米）．
故答案为12．
13. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】作轴，轴于点，可得，根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：作轴，轴于点，，
∴

又
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与图形的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的性质．
14. 如图，在中，，于点D，，，那么_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，四边形是矩形；
∴，
∴，故①符合题意；
如图，连接，，，与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；
如图，连接，
∵轴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小，则最小，
设，
∴，
∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；
如图，设平移距离为，
∴，
∵反比例函数为，四边形为矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题（共7小题）
16. （1）计算：．
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值的混合运算法则即可求解．
详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17. 已知：如图，是的高，，，．
（1）求和的长；
（2）求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）本题考查解直角三角形，根据，进行计算，即可解题．
（2）本题考查求角的正切值，掌握正切的定义，并根据进行计算，即可解题．
【小问1详解】
解：是高，，，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图像直接写出不等式的解集；
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
（1）联立一次函数与反比例函数解析式，求出方程组的解得到A与B的坐标即可；
（2）由A与B交点横坐标，以及0将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时x的范围即可；
（3）由一次函数求出y的值，确定出D坐标，即为的长，依据三角形面积=三角形面积+三角形面积，求出即可．
【小问1详解】
解：联立两函数解析式得：，
解得：或，
即，；
【小问2详解】
解：根据图象得：当或时，一次函数值大于反比例函数值，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：令中，得到，
即，
∴，
∴．
19. 如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为．
（1）求城门洞最宽处的长（保留根号）；
（2）现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由．
【答案】（1）
（2）能通过，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，截图的关键是：
（1）令，求出A、B的坐标，即可求解；
（2）把代入函数解析，求出y，然后用减去所求y的绝对值，所得的差与货车高度比较即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入，得，
解得，，
∴，，
∴，
即城门洞最宽处的长为；
【小问2详解】
解：能通过，
理由：当时，，
，
∴能通过．
20. 为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示．
（1）分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式．
（2）已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．
【答案】（1）升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）
（2）个月
【解析】
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用，
（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论；
正确的理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数，
设升级改造前y与x的函数表达式为，
当时，，
∴，即，
∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）；
当时，，
∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元，
∴，
∴升级改造后y与x的函数表达式为（且为整数），
∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）；
【小问2详解】
在中，
当时，，
∵，
∴在该象限中，随的增大而减小，
∴时，，
在中，
当时，，
∴，
∴且为整数．
∴可取，，，，；共5个月．
∴资金紧张期共有个月．
21. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设，在中，．在中，．则．解方程即可；
（2）求出，根据即可得到答案．
【小问1详解】
解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
【小问2详解】
在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
22. 阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=，BC=，求AD的长．
小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．
请回答：AD的长为 ．
参考小红思考问题方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD的长．
【答案】（1）6；（2）BC=，AD=．
【解析】
【分析】（1）延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；
（2）延长AB与DC相交于点E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，由tanA=，得出，求出x=3，那么BC=3，AE=12，DE=6，再利用勾股定理即可求出AD．
【详解】（1）如图，延长AB与DC相交于点E，

在△ADE中，
∵∠A=90°，∠D=60°，
∴∠E=30°．
在Rt△BEC中，
∵∠BCE=90°，∠E=30°，BC=，
∴BE=2BC=2，
∴AE=AB+BE=4+2=6．
在Rt△ADE中，
∵∠A=90°，∠E=30°，AE=6，
∴AD=AE•tan∠E=6×=6．
故答案为：6；
（2）如图，延长AB与DC相交于点E．

∵∠ABC=∠BCD=135°，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴BE=CE，∠E=90°．
设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．
在Rt△ADE中，∠E=90°．
∵tanA=，
∴，即，
∴x=3．
经检验x=3是所列方程的解，且符合题意，
∴BC=3，AE=12，DE=6，
∴AD==6．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23. 如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．
（1）___________，___________．
（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．
【答案】（1）1，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可；
（3）由，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即．
∵一次函数的图像过点，
∴，解得．
故答案为：1，；
【小问2详解】
解：存在．理由如下：
若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，
如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
②当点B为直角顶点时，
如图，过点B作，且，连接，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
小问3详解】
解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），
∴设点，
则点，
则，
解得，（舍去），
故点C的坐标为．
【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键．