山东省聊城市东苑初级中学2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省聊城市东苑初级中学2024-—2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（3*12）
1. 如图，△ABC中，点D在线段AB上，且△ABC∽△ACD,则下列结论一定正确的是
A. AC2=AB·ADB. AC2=BC·ADC. AC·CD=AB·ADD. AC·CD=CD·BD
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，可由△ABC∽△ACD得，可得AC2=AB·AD.
故选A.
2. 如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）
A. 2B. 0.5C. 4D. 0.25
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于边长比的平方可以得解．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比（或边长比）的平方是解题关键．
3. 如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）
A. BC=3DEB. C. △ADE～△ABCD. S△ADE=S△ABC
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵BD=2AD，∴AB=3AD，∵DE∥BC，∴=，∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，∴，B结论正确；
∵DE∥BC，∴△ADE～△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，∴S△ADE=S△ABC，D结论错误，
故选D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理是本题的解题关键．
4. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m
【答案】B
【解析】
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥DC．
∴△EAB∽△EDC．
∴．
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，
∴，
解得：AB＝40（m）．
故选：B．
5. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．
6. 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【详解】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是( )
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形的位似，分点和点在原点的同侧和异侧两种情况求解．
【详解】如图，当点和点在原点的同侧时，
点，原点为位似中心，相似比为，
点的即；
当点和点在原点的异侧时，
因为第二象限时坐标为，
所以，异侧时，恰好是其原点的对称点即为，

故选：C．
8. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则cs∠OMN的值为( )

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】∵正方形对角线相等且互相垂直平分
∴△OBC等腰直角三角形，
∵点M，N分别为OB，OC的中点，
∴MN//BC
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠OMN=45°
∴cs∠OMN=
9. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为，点都在格点上，则的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正弦的定义，勾股定理，作于点，利用勾股定理求得和的长，根据正弦的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：作于点，
∴，
由网格可知：，，，
则点三点共线，
则，
故选：．
10. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
A 26米B. 28米C. 30米D. 46米
【答案】D
【解析】
【详解】∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故选D．
11. 如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据AB=3m，∠ABC=45°可得：AC=，根据∠D=30°可得：AD=2AC=2×=3m．
考点：三角函数
12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（ ）
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
∵，
∴，
解得：CD=3cm，BD=5cm，
∴BC=4cm．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
二、填空题（4*5）
13. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为、、，另一个三角形框架的一条短边长为，则另外一个三角形的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的三边长是4、5、6,即可求得此三角形的周长,又由相似三角形周长的比等于相似比,即可求得另一个三角形的周长.
【详解】设另外一个三角形的周长是x,
∵一个三角形的三边长是4、5、6,
∴这个三角形的周长为:4+5+6=15,
∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2,
∴,
解得:x=7.5,
∴另一个三角形的周长是7.5.故答案为7.5.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质.解题的关键是注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用.
14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【详解】由sinA＝45知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x，
∴tanA＝=43．
故答案为43．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
15. 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是______
【答案】4或．
【解析】
【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是4或.
故答案为4或.
【点睛】解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种.
16. 如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是__________米．
【答案】8
【解析】
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
17. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则S△ABC＝__．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．通过解直角△ACD求得CD、AD的长度，通过解直角△BCD求得BD的长度；则易求AB＝AD＋BD；然后由三角形面积公式进行解答．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在直角△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC•cs30°＝2×＝3，CD＝AC＝．
∵在直角△BCD中，∠B＝45°，CD＝，
∴BD＝CD＝，
∴AB＝AD＋BD＝3＋，
∴S△ABC＝AB•CD＝×（3＋）×＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件．
三、解答题
18. 求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算；
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（3）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
（4）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【小问3详解】
解：原式
【小问4详解】
解：原式
19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：：
（2）若正方形的边长为4，求的面积．
【答案】(1)详见解析;(2)20.
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，
为AD的中点，
，．
，
，，
，，
，
又，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
的面积．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
20. 如图，是一块锐角三角形余料，其中，高，现在要把它裁成一块正方形材料备用，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在AB，上，问这块正方形材料的边长是多少?
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是正方形的性质以及相似三角形的判定与性质设这块正方形材料的边长为，根据四边形是正方形，得出，则，即可证明；利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程，然后解方程即可．
【详解】解：设这块正方形材料的边长为，
则的边上的高为，
∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形的一边在上，
∴，
∴，，
∴
∴，即，
解得：，
答：这块正方形边长为．
21. 如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】从点走到点，身影的长度是变短了
【解析】
【分析】根据题意可得，根据平行得，列出比例式，代入数据计算即可
【详解】如图，
即
解得
即
解得
从点走到点，身影的长度是变短了
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，找到相似三角形是解题的关键．
22. 如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距大道AB的距离MN为30米，现有一辆汽车从A向B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度（结果保留整数）．
（2）通过计算判断此车是否超速．（温馨提示：≈1.732，≈1.414）
【答案】（1）82米；（2）不超速
【解析】
【分析】（1）由MN的长度及直角三角形的应用可以求得AB的长度；
（2）用AB的长度除以汽车通过AB的时间即可得到汽车的速度，把求得的速度与限速60千米/时比较即可知道汽车是否超速．
【详解】解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，
∴AN=MN•tan∠AMN=303．
在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．
∴AB=AN+BN=（30+303）米≈82米；
（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，
∴此车的速度为：（30+303）÷6=5+53≈13.66，
∵60千米/时≈16.67米/秒，13.66＜16.67
∴不会超速．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
23. 【项目式活动探究】光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），被誉为中国十大名楼，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果.下面是两个方案及测量数据（不完整）
【问题解决】
（1）“方案一”两次测量塔影长DB的平均值是
（2）根据“方案一”的测量数据，可求得光岳楼AB的高度为
（3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼AB的高度；（参考数据：，，）注：结果保留1位小数
（4）请对本次实践活动进行评价（一条即可）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）两种方案均可测量出光岳楼的近似高度，测量时取平均值是减少误差的方式（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了关于求塔高的实践与探究，相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用．
（1）根据平均值的公式求解即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可；
（3）设，在中和在中，分别表示出，即可求解；
（4）根据题目求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：“方案 ”两次测量塔影长的平均值是
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
∵，，，
∴；
【小问3详解】
解：设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
中，，
∴，
∴，解得，
∴，
答：光岳楼的高度约为
【小问4详解】
项目
测量光岳楼的高度
方案
方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形测量：标杆长CD，影长及同一时刻塔影长DB
方案二：利用锐角三角函数.测量：距离CD，仰角，仰角
说明
、、三点在同一条直线上
、、三点在同一条直线上
测量示意图
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
CD
30°
DB
CD