山东省青岛市崂山实验学校2024-2025学年九年级 上学期9月份第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市崂山实验学校2024-2025学年九年级 上学期9月份第一次月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了 下列哪个方程是一元二次方程， 方程的两根，分别是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本题共30分，共10小题，每小题3分）
1. 下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程进行判断即可．
【详解】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
2. 方程的两根，分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】解出一元二次方程即可；
【详解】解：，
，，
∴，；
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
3. 顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A. AB＝BCB. AB⊥BCC. AC＝BDD. AC⊥BD
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到EHFG，EF＝FG，EF＝BD，要是四边形为菱形，得出EF＝EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH＝AC，EHAC，FG＝AC，FGAC，EF＝BD，
∴EHFG，EF＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC＝BD，
∵EH＝AC，EF＝BD，
则EF＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC＝BD即可推出四边形是菱形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
4. 如图，在矩形中，，，沿折叠，使点A恰好落在对角线上的点F处，则的长是（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由折叠可得，，可求，根据勾股定理可求的长．
【详解】解：四边形是矩形
，
，
将沿折叠，使点恰好落在对角线上处
，，
中，
即
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，解得，且；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键明确一元二次方程有两个实数根时，△≥0，注意：一元二次方程二次项系数不为0．
6. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时x的范围即为所求根的范围．
【详解】解：∵14.41＜15＜15.84，
∴一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2．
故选：B．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．
9. 在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知景观区和观光小道是一个长方形，其长为(60+2x)m，宽为(40+2x)m，根据总面积-景观区的面积=观光小道的面积列出方程即可．
【详解】根据题意，得
，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．
10. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF，其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形与折叠性质得出DF=MF，根据角平分线性质得出CF=MF，可判断①，利用等角余角性质得出∠BFM=∠BFC，再证∠BFE=∠BFN即可判断②，证明△DEF≌△CNF可判断③，推出BM=3EM即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC， DF=MF．
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF．
∴DF=CF．故①正确，符合题意．
∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC．
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN．
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，即BF⊥EN．故②正确，符合题意．
∵在△DEF和△CNF中，易由ASA得△DEF≌△CNF，
∴EF=FN．
∴BE=BN．
但无法求得△BEN各角的度数，
∴△BEN不一定是等边三角形．故③错误，不符合题意．
∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM．
∴BM=3EM．
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF．故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是①②④．故选B．
【点睛】本题考查矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质，掌握矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
二．填空题（本题共18分，共6小题，每小题3分）
11. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝______°．
【答案】110
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝70°，∠CAE＝40°，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝70°，
∴∠ACD＝70°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝70°，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAE＝110°，
故答案为110．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．
12. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】由矩形的性质可知AC＝BD＝2OA＝2OB，所以OA＝OB，∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以OA＝AB，即可求出OA的长，进而求得AC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．
∴AC＝BD＝2OA＝2OB
∴OA＝OB．
又∵∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA＝AB＝3．
∴AC＝2OA＝2×3＝6．
故答案为：6.
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，关键是利用矩形的对角线互相平分且相等，得到OA=OB，进而得到等边三角形求解.
13. 如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为________
【答案】6
【解析】
【分析】连接，，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为，可证得，得到，进而可求得答案．
【详解】如图所示，连接，．

根据题意可知，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为．
．
是正方形的对角线，
，
在和中，
，
∴．
∴．
∴的最小值为．
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、正方形的性质、勾股定理，两点之间线段最短，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
14. 如果，是方程的两个根，那么＝__________．
【答案】6；
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1•x2的值．
【详解】∵x1，x2是方程x2-5x+6=0的两个根，
∴x1•x2=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系：x1+x2=-，xlx2=解答即可．
15. 某药品原价每盒100元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒64元，则该药品平均每次降价的百分率是 _____．
【答案】20%
【解析】
【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，
由题意得，
解得或（舍去），
∴该药品平均每次降价的百分率是20%，
故答案为：20%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，
由折叠得，，
设DF=x，则AF=8-x，
又
在Rt中，，即
解得，，即DF=
∴
过作，过D作DM⊥于M，
∵
∴，解得，
∵
∴，解得，
∴
∴
∴；
故答案为：6；．
【点睛】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．
三．作图题（本题共4分）
17. 小明想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要求一个顶点为A，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图把这个菱形作出来．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先作的角平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交于点，连接,则四边形即为所求的菱形．
详解】如图所示，
四边形即为所求的菱形．
【点睛】本题考查了作角平分线，作线段垂直平分线，菱形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
四、解答题（本题共68分，共7小题）
18 解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】（）利用配方法即可求解；
（）利用公式法即可求解；
（）利用公式法即可求解；
（）利用公式法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握配方法和公式法是解题的关键．
【小问1详解】
解：方程移项得，，
两边同时除以得，，
配方得，，
即，
开平方得，或，
∴，；
【小问2详解】
解：方程移项得，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问3详解】
解：，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问4详解】
解：方程整理得，，
，，，
∴，
∴，
∴，．
19. 已知关于的一元二次方程
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∴不论为何值，该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：将代入原方程得：，
∴，
∴原方程为，
，
∵，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
20. 如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，

∴（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，某小区有一块长为18，宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．人行通道的宽度为多少米？
【答案】
【解析】
【分析】设人行通道的宽度为米，根据题意建立一元二次方程即可求解．
【详解】解：设人行通道的宽度为米，由题意得：
解得：（不合题意，舍去）
即：人行通道的宽度为米
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键．
22. 如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，由“AAS”可证△ABO≌△ECO，可得AO＝EO；
（2）先证明四边形ABEC平行四边形，再证明OA=OC，即可得四边形ABEC是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，
∵点O是边BC的中点，
∴BO＝CO，
∴△ABO≌△ECO（AAS），
∴；
（2）四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵，BO＝CO，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵
∴∠DAC=∠OCA，
∵，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OA=OC，
∴OA=OC=OB=OE，即：AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，证明△ABO≌△ECO是本题的关键．
23. 天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？
【答案】每件童装应降价20元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．
设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可．
【详解】解：设每件童装应降价元，则
，
即：，
解得：，，
要扩大销售量，减少库存，
舍去．
答：每件童装应降价20元．
24. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动．
（1）经过多少秒后，的面积为？
（2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．
（3）若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？
【答案】（1）2或4 （2）线段不能将分成面积相等的两部分
（3）
【解析】
分析】（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：设经过秒后，的面积为．
根据题意得：，
∴，
∴，解得，，
故经过2秒或4秒后，的面积为；
【小问2详解】
解∶ 设经过t秒后，线段将分成面积相等的两部分．
∵，
∴，即．
∵，
∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分．
【小问3详解】
解：设y秒后，的面积为；
分三种情况：
①点P在线段上，点Q在线段上，如图所示，
依题意得： ，
即，
解得，
经检验， 不符合题意，舍去，
；
②点P在线段上，点Q在射线上，如图所示，
依题意得：，
即，
解得，
经检验，符合题意；
③点P在射线上，点Q在射线上，如图所示，
依题意得：，
即，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，
，
综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积等于．