陕西省西安市铁一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市铁一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子（ ）
A. 逐浙变长B. 逐渐变短C. 先变长后变短D. 先变短后变长
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了中心投影的性质，熟知平行投影与中心投影的区别是解题的关键．
根据中心投影的定义及特点即可判断．
【详解】小明从甲处向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当小明到达路灯的下方时，他在地面上的影子变成一个圆点；
当他再次远离路灯走向乙处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长，
他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长．
故选：D．
2. 已知，，，则（ ）

A. 12B. 18C. 24D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，从而得到，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，熟练掌握此定理是解题的关键．
3. 图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据物体的三视图选出正确选项．
【详解】解：A选项正确；
B选项错误，中间的小圆要是实线；
C选项错误，这是主视图；
D选项错误，这不是三视图之一．
故选：A．
【点睛】本题考查物体的三视图，需要注意在画三视图时虚线和实线的区别，实线代表从视角看可以看见，虚线表示看不见．
4. 如图，小正方形的边长均为1，下列选项中与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
根据网格中的数据求出，，，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意可得：，，，
A．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似．
B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
C．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故选：A．
5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）．
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，根据相似比就等于位似比，求出结果即可．
【详解】解：与位似，
，
，
，
的周长为6，
的周长为3．
故选：C．
6. 已知点和点，均在反比例函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数中比较函数值大小，涉及反比例函数图象与性质、求反比例函数值等知识，将，，代入反比例函数，比较函数值即可得到答案，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：点，，在反比例函数的图像上，
，，
，
，
故选：B．
7. 据统计，某专卖店一特产第三季度的总销售量为9.93万件，其中7月份的销量为3万件，设8，9月份销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设8，9月份销量的月平均增长率为，根据第三季度的总销售量为9.93万件，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设8，9月份销量的月平均增长率为，
则可列方程为，
故选：B．
8. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）сm．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
证明，设正方形零件的边长为，则，根据相似三角形的性质得方程，解方程即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
又，
，
设正方形零件的边长为，则，
，
解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：B．
9. 随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（ ）

A. 4小时B. 小时C. 小时D. 小时
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正比例函数解析式，反比例函数解析式，令，确定两个函数自变量的值，其差就是持续的时间．
【详解】设正比例函数解析式，反比例函数解析式为，
把分别代入解析式，得，
解得，
故函数的解析式为，
当时，，
解得，
故持续时间为（小时），
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数解析式，反比例函数解析式的确定，应用，熟练掌握解析式的确定和应用是解题的关键．
10. 如图，矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上． 若四边形是菱形，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用定理是解题的关键．连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过，得到，设，，解直角三角形，得，，则，，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接交于，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，则，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，设，，
，可得，
∴，，则，，
∴．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质可得，代入已知条件即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将6个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在0.3附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为_______．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了分式的运用，根据频率估算概率，概率的计算，根据题意，设白球有个，可列式为，由此即可求解．
【详解】解：设白球有个，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为0，
∴白球有14个，
故答案为：14 ．
13. 小兰身高，她站立在阳光下的影子长为；她把手臂竖直举起，此时影子长为，那么小兰的手臂超出头顶___cm．
【答案】40
【解析】
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【详解】解：设手臂竖直举起时总高度x cm，则，
解得x＝200，200−160＝40（cm），
故小兰的手臂超出头顶40cm，
故答案为：40．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比是解答此题的关键．
14. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点． 若，则的长为_______．（结果保留根号）

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解．
【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设，
∴，即，，
∴，即，
解得：，（舍去），
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在x轴上，若的面积为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是．
则，，．
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，
则．
故答案是：．
16. 如图，已知，点C在线段上，是底边长为12的等腰三角形，并且，以为边在的右侧作矩形，连接，点M是的中点，连接，当小时，矩形面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．连接，过点作于，交于．证明垂直平分线段，推出点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，求出，结合矩形面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，
四边形是矩形，点是的中点，
点在对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，则，
此时矩形面积，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），1
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
或
，；
【小问2详解】
解：
或
，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
（1）代入特殊角的三角函数值计算即可；
（2）代入特殊角的三角函数值计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图， 于D，根据垂线的定义得到 再证明即可证明．
【详解】解：如图所示，点D即为所求．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D即为所求．
20.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
【答案】见解析
【解析】
【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
∴CD∥AE CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴AC＝DE．
∴平行四边形ADCE是矩形．
21. 数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．
（1）转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________；
（2）若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用树状图或列表法求概率．
（1）先求出转盘红色部分圆心角， 即可得出一共3个蓝色部分，然后根据概率公式计算概率即可．
（2）画出树状图，得出总出现的情况数，再得出出现蓝红的情况数，最后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分，
∴转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为：．
【小问2详解】
转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
同时转动盘和盘，配成紫色的概率是
22. 关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值．
【答案】（1）见详解 （2），另一个根为1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握判别式的意义是解题关键．
（1）先求出根的判别式大于0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）将代入求出k，得到原方程，再解方程即可．
【小问1详解】
证明：由已知，
，
，
，
∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：依题意得，，
解得，
则原方程，
解得，
∴另一根为．
23. 如图，在中，D是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）36
【解析】
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出；
（2）根据“相似三角形面积比等于相似比的平方”即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
24. 如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示：
由题意得：米，米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
米，
米，
小李到古塔的水平距离即的长为米．
25. （1）如图1，点E为矩形内一点，请过点E作一条直线l，将矩形的面积分为相等的两部分；
（2）如图2，在平行四边形中，，，，E为边上一点，且，请问在边上是否存在一点F，使得直线将平行四边形的面积分为相等的两部分，如果存在，求出线段的长；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，现有一块平行四边形空地，米，米，，P为对角线上一点，且，计划过点P修一条小路EF，使得E、F分别在线段、上，小路EF的右侧区域种植花卉． 如图，的区域种郁金香，与的区域种紫罗兰，已知郁金香的费用为每平方米200元，紫罗兰的费用为每平方米100元，请问种植费用最少是多少元？（结果保留根号）
【答案】（1）见解析；（2）存在，；（3）种植费用最小值为元
【解析】
【分析】（1）如图，连接，交于点，过点、作直线，结合矩形的性质可证明；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，同（1）可知，过点、分别作，，交于，，则四边形是矩形，再结合含的直角三角形即可求解；
（3）先求得平方米，连接交于，则，即点为的中点，取，的中点，，可得四边形是平行四边形，，，由（2）可知过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，即：平方米，求得平方米，（当点在上方时，点在点左侧，此时同理可得平方米）由，可得，，则种植费用为（元），当取得最小值时，种植费用有最小值．
【详解】解：（1）如图，连接，交于点，过点、作直线，直线将矩形的面积分为相等的两部分．
理由：设直线分别交，于点，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）存在，理由如下：
连接，交于点，连接并延长交于，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
过点、分别作，，交于，，则四边形是矩形，
∴，，
∵，则，
∴，，
由勾股定理可得：，
∴；
（3）过点作，交于，则米，
∴平方米，
在平行四边形中，，，
连接交于，则，即点为的中点，
取，的中点，，
∴，，
则，
∴，同理，，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
由（2）可知过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，
即：平方米，
∴平方米，（当点在上方时，点在点左侧，此时同理可得平方米）
即：当点与点重合时，取得最小值平方米，
∵，
∴，，
∴，则，
∴，
则种植费用为
（元），
当取得最小值时，种植费用有最小值，最小值为元，
综上，种植费用最小值为元．
【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，中位线定理，解直角三角形等知识点，结合过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，求得当取得最小值时，种植费用有最小值，是解决问题的关键．