2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线C的方程为y2=tx，(t>0)，焦点为F，点A(3,m)为C上一点，且|AF|=4，则t的值为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为( )
A. 180B. 120C. 90D. 240
3.下列命题正确的有( )个．
(1)函数f(x)在R上存在导函数.且f(x)在R上为严格增函数.则f′(x)>0对所有的x∈R恒成立
(2)周期函数f(x)在R上存在导函数，则导函数f′(x)也为周期函数
(3)定义在R上的函数f(x)，满足f(0)=0且f′(x)>2对所有的x∈R恒成立，则f(x)>2x对所有x>0恒成立
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.已知圆(x+2)2+y2=9的圆心为C，过点M(2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是( )
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知等差数列{an}，a1+a7=8，则a4= ______．
6.已知直线l的方程为2x+y+1=0，则直线l的倾斜角为______．
7.函数f(x)=xex的极值点为______．
8.若排列数P6m=6×5×4，则m= ______．
9.已知空间向量a=(x,1,−2)与b=(1,−1,2)夹角为钝角，则实数x的取值范围为______．
10.若无论实数a取何值，直线ax−y+1=0与圆x2+y2=r2(r>0)恒有交点，则r的取值范围为______．
11.已知全集U={1,2}，集合A，B为U的子集，则有序集合(A,B)一共有______组.
12.关于x的方程lnx=kx2(k∈R)有两个不同实数根，则k的取值范围是______．
13.若函数f(x)=csxsinx+acsx在[0,π]上为严格增函数，则实数a的取值范围为______．
14.给定数列{an},an=−n2+9n−18，则对所有m0)，Sn−Sm最大值为______．
15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2
的面积为______．
16.已知空间向量a,b,c,e均为单位向量，且a与b夹角为π2,a与c夹角为π3，则a⋅e+2b⋅e+3c⋅e的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=ex−2x．
(1)求函数在点(0,1)处的切线方程；
(2)求f(x)的最小值；
18.(本小题14分)
已知数列{an}，它的通项公式为an=3⋅2n+a2n．
(1)若a=0，求数列{1an}的各项和；
(2)若数列{an}为严格增数列，求实数a的取值范围．
19.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．
(1)求异面直线BD与PC所成角的大小；
(2)求二面角A−PC−D的余弦值．
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于P、Q．
(1)求△F1PQ的周长；
(2)设点A为椭圆Γ的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若F1M=23F1P，求点P的横坐标；
(3)设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N求△QF2N面积的最大值．
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=x3−3ax．
(1)若a=2，求函数的严格减区间；
(2)若方程x3−3ax=13x4−8x2在实数集上有四个解，求实数a的取值范围；
(3)若a=1，数列{an}满足an+1=|f(an)|.是否存在a1使得数列{|an|}严格递减？存在的话.求出所有这样的a1；不存在的话，说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.4
6.π−arctan2
7.x=−1
8.3
9.(−∞,−1)∪(−1,5)
10.[1,+∞)
11.16
12.(0,12e)
13.(−∞,−1]
14.4
15. 15
16. 17+6 3
17.解：(1)f(x)=ex−2x，故可得f′(x)=ex−2，
所以f(0)=1，f′(0)=−1，
故f(x)在(0,1)点处的切线方程为y−1=−(x−0)，即x+y−1=0；
(2)f(x)=ex−2x，
则f′(x)=ex−2，
令f′(x)=0，解得x=ln2，
故当x∈(−∞,ln2)，f′(x)0，f(x)单调递增，
又f(ln2)=eln2−2ln2=2−2ln2，
故f(x)的最小值为2−2ln2．
18.解：(1)当a=0时，an=3×2n，
则1an=13×12n，
所以数列{1an}的各项和为13×12(1−12n)1−12=1−12n3=2n−13×2n；
(2)若数列{an}为严格增数列，
则an−an−1=3×2n+a2n−3×2n−1−a2n−1=3×2n−1−a2n>0，(n>1)，
所以n>1时，a