2024-2025学年陕西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西师大附中高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+ 3y−2=0的倾斜角α是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知点(1,2)在抛物线C：y=ax2上，则抛物线C的准线方程为( )
A. x=−12B. y=−12C. x=−18D. y=−18
3.已知椭圆C：x2m+y24=1(m>4)的焦距为2，则C的长轴长为( )
A. 5B. 2 5C. 2 2D. 4 2
4.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，AA1=3，且∠A1AD=∠A1AB=60°，则线段AC1的长为( )
A. 9
B. 29
C. 47
D. 4 3
5.已知点P在直线l：x−y−1=0上运动，点A(0,1)，B(3,1)，则|PA|−|PB|的最大值为( )
A. 5B. 2C. 3D. 1
6.两个圆C1：x2+y2+2ax+a2−4=0(a∈R)与C2：x2+y2−2by−1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线，则ab的最大值为( )
A. 5B. 92C. 4D. 32
7.在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=4，OB=3，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. 45B. 35C. 2 3417D. 3 1717
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为( )
A. ( 2,2)B. ( 3,+∞)C. (1, 3]D. (1, 2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知α∈(0,π)，方程x2+y2csα=1表示的曲线可以是( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 两条直线
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 直线DB1⊥平面ACD1
B. 直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值
C. 平面A1C1B//平面ACD1
D. 点F到平面ACD1的距离为定值
11.已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)作斜率为 3的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是( )
A. ∠AOF=∠BOFB. |AB|=323
C. S△AOB=16 33D. ∠AOB0，bb>0)的离心率为12，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C相交于A，B两点，且kOA⋅kOB=−34．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.A
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.ACD
11.BC
12.(x−1)2+y2=5
13.14a2
14.[−2,−1)
15.证明：(1)已知圆C：x2+y2−2x−4y−20=0，直线l：(m+2)x+(1−m)y−4m−5=0(m∈R)，
圆C：x2+y2−2x−4y−20=0，即(x−1)2+(y−2)2=25，
所以C(1,2)，圆的半径r=5，
直线l：(m+2)x+(1−m)y−4m−5=0，即m(x−y−4)+2x+y−5=0，
由x−y−4=02x+y−5=0，解得x=3y=−1，所以直线过定点M(3,−1)，
又|CM|= (1−3)2+(2+1)2= 130，
x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2−12k23+4k2，
因为kOA⋅kOB=y1y2x1x2=−34，
所以2m2=3+4k2，
所以|AB|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 24(1+k2)3+4k2，
坐标原点到直线l的距离为d=|m| 1+k2，
所以△AOB的面积为S=12|AB|⋅d=12× 24(1+k2)3+4k2⋅|m| 1+k2=12× 24m23+4k2= 3，
故△AOB的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则OP=OA+OB，
设P(x0,y0)，则x0=x1+x2=−8km3+4k2y0=y1+y2=6m3+4k2，
又因为x024+y023=1，即16k2m2(3+4k2)2+12m2(3+4k2)2=1，得4m2=3+4k2，
与2m2=3+4k2矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．