2024-2025学年浙江省“浙里特色联盟”高一上学期11月期中联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省“浙里特色联盟”高一上学期11月期中联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=1−2024i(i为虚数单位)的虚部是
A. 2024B. 1C. −2024D. −2024i
2.已知圆的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=9，则圆心坐标为
A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)
3.过点(3,2)且垂直于直线x−2y+1=0的直线方程为
A. 2x−y−4=0B. 2x−y+4=0C. 2x+y−8=0D. x−2y+4=0
4.已知a=(−2,1,3)，b=(4,−1,m)，且a⊥b，则m的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC的点，且BN=2NC，则MN等于
A. 34a−13b−23cB. 34a−23b−13c
C. −34a+23b+13cD. −34a+13b+23c
6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为3 5π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为12.则C的标准方程为
A. x29+y25=1B. x29+y24=1C. x25+y24=1D. x25+y2=1
7.过点(3,0)与圆x2+y2−4y+3=0相切的两条直线的夹角为θ，则sinθ=
A. 35B. 45C. 1113D. 4 313
8.已知F为椭圆C：x216+y27=1的右焦点，P为椭圆C上一点，Q为圆M：x2+(y−4)2=1上一点，则|PQ|−|PF|的最小值为( )
A. −5B. −4C. −3D. −2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知F1，F2分别是椭圆x216+y24=1的左，右焦点，P为椭圆上的一点，则下列说法正确的是
A. |PF1|+|PF2|=16
B. 椭圆的离心率为 32
C. 直线x=−2被椭圆截得的弦长为2 3
D. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4
10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AD1和B1C1上(含端点)，则下列命题正确的是
A. MN长的最小值为1
B. 四棱锥M−BNC的体积为定值
C. 有且仅有一条直线MN与AD1垂直
D. 当点M、N为线段中点时，则△MBN为等腰三角形
11.已知直线l：(2−m)x+(2m+1)y+3m+4=0，下列说法正确的是
A. 直线l恒过定点(−1,2)
B. 直线l与直线x−y=0垂直，则m=13
C. 当点Q(3,4)到直线l的距离取到最大时，此时m=47
D. 直线l与圆x2+y2+6x+8y+16=0所截得的最短弦长为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线x+ 3y+6=0的倾斜角大小为_________．
13.已知空间向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，c=1,4k,2且ka+b与c互相平行，则实数k的值_________．
14.已知右焦点为F的椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且|BF|=4|CF|，则E的离心率是_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
16.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点M(1,1)和点N(4,2)，且圆心在直线2x+3y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线x=ty+3被圆C截得弦长为2 17，求实数t的值．
17.(本小题12分)
如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，设AD=2，DD1=4，点P在线段CC1上，且C1P=3PC．
(1)求三棱锥VP−BCD的体积；
(2)直线A1P与平面PBD所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A1, 32，且离心率为 32，斜率为12的直线PQ交椭圆C于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记以OP，OQ为直径的圆的面积分别为S1，S2，△OPQ的面积为S，求S(S1+S2)的最大值．
19.(本小题12分)
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则欧几里得距离D(A,B)= x1−x22+y1−y22；曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，余弦距离e(A,B)=1−cs(A,B)，其中cs(A,B)=csOA,OB(O为坐标原点)．
(1)若A(1,2)，B(3,4)，求A，B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离e(A,B)；
(2)若点M(3,0)，d(M,N)=2，求e(M,N)的最大值；
(3)已知点P，Q是直线l：y−1=k(x−1)上的两动点，问是否存在直线l使得d(O,P)min=D(O,Q)min，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.D
6.A
7.D
8.B
9.BCD
10.ABD
11.BC
12.5π6
13.2
14. 53
15.解：(1)∵边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0，
∴kAC⋅kBH=−1 ，且kBH=12，
∴kAC=−2．
∵△ABC的顶点A5,1，
∴直线AC的方程：y−1=−2x−5，即2x+y−11=0．
联立方程2x+y−11=0,2x−y−5=0, 解得x=4,y=3,
∴顶点C的坐标为(4,3)．
(2)∵CM所在直线方程为2x−y−5=0，
故设点M的坐标为m,2m−5，
∵M是AB的中点，A5,1，
∴B2m−5,4m−11．
∵B2m−5,4m−11在BH所在直线x−2y−5=0上，
∴2m−5−24m−11−5=0，解得m=2，
∴B点坐标为(−1,−3)，
由(1)知点C的坐标为(4,3)，
故直线BC的方程为y+3=65x+1，即6x−5y−9=0．

16.解：(1)(1)由题意可得，kMN=2−14−1=13，
所以中垂线斜率为k=−3，
MN中点为(52,32)，
所以MN的中垂线方程为y−32=−3(x−52)，即3x+y−9=0，
由3x+y−9=02x+3y+1=0⇒x=4y=−3，
所以圆心为C(4,−3)，半径r=|CM|=5，
所以圆C的标准方程为：(x−4)2+(y+3)2=25；
(2)弦长|AB|=2 r2−d2=2 25−d2=2 17，
所以圆心到直线的距离d=2 2，
d=|4+3t−3| 1+t2=2 2，
解得t=−7或1．
17.解：(1)VP−BCD=13SΔBCD|PC|=13×2×22×1=23;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系D(0,0,0)，A1(2,0,4)，B(2,2,0)，P(0,2,1)，
A1P=(−2,2,−3)，DP=(0,2,1)，DB=(2,2,0)，
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)则n⋅DP=0n⋅DB=0∴2y+z=02x+2y=0∴z=−2yx=−y，
令y=−1，得x=1，z=2，则n=(1,−1,2)，
sinθ=|cs|=|A1P⋅n||A1P||n|=10 17× 6=5 10251．
18.解：(1)由题意可得：e=ca= 1−b2a2= 32∴b2a2=14，而1a2+34b2=1
∴a2=4，b2=1，∴椭圆方程为x24+y2=1
(2)设直线PQ的方程为y=12x+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
由x24+y2=1y=12x+m，得x2+2mx+2m2−2=0，
Δ=(2m)2−4(2m2−2)=−4m2+8>0，即m2