2024-2025学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则a8=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a,AD=b,AA1=c，则BD1=( )
A. a+b+cB. −a+b+cC. a−b+cD. a+b−c
3.已知数列{an}满足an+1(1−an)=1，若a1=−1，则a10=( )
A. 2B. −2C. −1D. 12
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥n，n//α，则m⊥α
B. 若m//β，β⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
D. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
5.设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S3=−3，a5=2，则( )
A. {an}为递减数列B. a3=0C. Sn有最大值D. S6=0
6.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的34，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是( )
A. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 3：4
7.设Sn为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于( )
A. 12B. 1643C. 55D. 1703
8.已知底面边长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为8 3，则直线AC与A1B所成角的余弦为( )
A. 32B. 22C. 34D. 24
9.已知等比数列{an}的首项a1>1，公比为q，记Tn=a1a2…an.(n∈N∗)，则“0A．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，AB= 3，BC=1，A1A=2，点E、F分别为A1C1，BC的中点．
(Ⅰ)求证：FC1//平面ABE；
(Ⅱ)求证：AB⊥FC1；
(Ⅲ)求三棱锥B1−AFC1的体积．
17.(本小题13分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+…+b2n−1．
18.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，AD⊥CD，PD=CD=2AB=2，点M在PC上，且BM//平面PAD．
(Ⅰ)求证：M是PC的中点．
(Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角M−BD−C的余弦值．
条件①：CB⊥PB；
条件②：DM=BM．
19.(本小题13分)
已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n−an，(n=1,2,3,…)
(Ⅰ)求证：数列{an−1}是等比数列；
(Ⅱ)令bn=(2−n)(an−1)(n=1,2,3,…)，如果对任意n∈N∗，都有bn+14t≤t2，求实数t的取值范围．
20.(本小题16分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EF//AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
(1)证明：AG⊥平面ABCD．
(2)若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为 69，求AG 的长．
(3)判断线段AC上是否存在一点M，使MG/​/平面ABF？若存在，求出AMMC的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题17分)
已知{an}是无穷数列，a1=a，a2=b，且对于{an}中任意两项ai，aj(i0)，
则：E(0,1,t)，F(0,−1,t)，
所以：BF=(−4,−1,t)，AC=(4,4,0)，AE=(0,1,t)，
设平面ACE的法向量为：n=(x,y,z)，
由AC⋅n=0AE⋅n=0，
解得：4x+4y=0y=−tz，
所以：n=(t,−t,1)，
直线BF与平面ACE所成角的正弦值为 69，
所以：cs=|BF⋅n|n||BF||= 69
解得：t2=1或t2=172，
所以：AG=1，或AG= 342，
(3)解：假设线段AC上存在一点M，使MG/​/平面ABF，设AMAC=λ，
则：AM=λAC，
由AC=(4,4,0)，
得：AM=(4λ,4λ,0)，
设AG=t(t>0)，
则：AG=(0,0,t)，
所以：MG=AG−AM=(−4λ,−4λ,t)，
设平面ABF的法向量为：m=(x1,y1,z1)，
AF⋅m=0AB⋅m=0，
解得：m=(0,t,1)，
由于：MG/​/平面ABF，
所以：MG⋅m=0，
即：−4λt+t=0，
解得：λ=14，
所以：AMAC=14，此时AMMC=13，
即当AMMC=13时，MG/​/平面ABF．

21.解：(Ⅰ)取i=1，j=2，则存在ak(2