2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=21−i+11+i(i为虚数单位)，则复数z−在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|等于( )
A. 2 2B. 2 3C. 12D. 10
3.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的70%分位数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 6.5
4.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中( )
A. 最长的是AB，最短的是AC
B. 最长的是AC，最短的是AB
C. 最长的是AB，最短的是AD
D. 最长的是AC，最短的是AD
5.在△ABC中，A=45°，a=4，b=3满足条件的△ABC( )
A. 不能确定B. 无解C. 有一解D. 有两解
6.自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活.某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图.观察统计图，下列说法中不正确的是( )
A. 2013年−2019年空气净化器的销售量逐年在增加
B. 2017年销售量的同比增长率最低
C. 与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长
D. 有连续三年的销售增长率超过30%
7.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的(沙堆的底面是水平的).已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是( )
A. 1：1B. 2：1C. 2：3D. 3：2
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：
①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；
②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；
③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；
④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．
其中正确的结论是( )
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b，c满足3a+b=(−1,3)，a−b=(−3,1)，c=(2,−2)，则下列说法正确的是( )
A. |b|= 2|a|B. a⊥c
C. a//cD. 向量a，b的夹角为π4
10.下列说法正确的是( )
A. 抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为
B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
C. 某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件
D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A. 若a= 5,b= 15,A=30°，则△ABC的面积为5 32
B. 若sin2A=sin2B+sin2C−sinBsinC，则角A=π3
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
D. 不存在A，B，C，使tanA+tanB+tanC>tanAtanBtanC成立
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知x1，x2，x3，…，xn的中位数与方差分别为2，1，则2x1−1，2x2−1，2x3−1，…，2xn−1的中位数与方差的和为______．
13.若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为 2，则该圆台的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知复数z1=(a+i)2，z2=4−3i，其中a是实数．
(1)若z1=iz2，求实数a的值；
(2)若z1z2是纯虚数，求a的值．
15.(本小题15分)
已知向量a=(1,1)，b=(−1,k)．
(1)若a⊥(a+2b)，求实数k的值；
(2)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场(鸟巢)举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
(i)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
17.(本小题17分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．
(1)求B；
(2)若▵ABC为锐角三角形，且c=1，求▵ABC面积的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，BC//AD，CD⊥AD，AD=CD=1，BC=2．
(Ⅰ)求证：AC⊥平面PAB；
(Ⅱ)若平面PAB与平面PCD的夹角等于π3，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
6.C
7.B
8.B
9.AC
10.AD
11.BCD
12.7
13.7π3
14.解：(1)∵复数z1=(a+i)2，z2=4−3i，z1=iz2，
∴(a+i)2=a2−1+2ai=3+4i，即a2−1=32a=4，解得a=2．
(2)z1z2=(a+i)24−3i=(a2+2ai−1)(4+3i)(4+3i)(4−3i)=(4a2−6a−4)+(3a2+8a−3)i25，
∵z1z2是纯虚数，
∴4a2−6a−4=03a2+8a−3≠0，解得a=2或a=−12．
15.解：(1)因为a=(1,1)，b=(−1,k)，
所以a+2b=(−1,2k+1)，
因为a⊥(a+2b)，
所以a⋅(a+2b)=1×(−1)+1×(2k+1)=0，解得k=0；
(2)因为a与b的夹角是钝角，a=(1,1)，b=(−1,k)，
则a⋅b=k−1a2−a+1，
解得12