2023-2024学年广东省惠州市博罗县高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市博罗县高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知抛物线C的方程为y=4x2，则其准线方程为( )
A. y=−116B. y=116C. y=−1D. y=1
2.若直线l的方向向量是e=(−1, 3)，则直线l的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.已知正项等比数列{an}满足a3为2a2与a6的等比中项，则a3+a5a1+a3=( )
A. 22B. 12C. 2D. 2
4.已知平面α={P|n⋅P0P=0}，其中P0(1,1,1)，法向量n=(−1,1,2)，则下列各点中不在平面α内的是( )
A. (2,0,1)B. (2,0,2)C. (−1,1,0)D. (0,2,0)
5.设A，B为两个互斥的事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列各式错误的是( )
A. P(AB)=0B. P(A−B)=[1−P(A)]P(B)
C. p(A−∪B−)=1D. P(A∪B)=P(A)+P(B)
6.在数列{an}中，若a1=1，a2=2，an+2=an+1−an，则a2024=( )
A. −1B. −2C. 2D. 1
7.如图，四面体O−ABC，G是底面△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，则OG=( )
A. 13a+23b+23c
B. 13a+13b+13c
C. 23a+23b+23c
D. 23a+23b+13c
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且OB⋅BF=0，AB=2BF，则该双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的前项和为Sn，a1=11，a5=3，则( )
A. S5=35B. an=13−2nC. |an|的最小值为0D. Sn的最大值为36
10.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.则( )
A. 直线l与圆C可能相切
B. 圆C被y轴截得的弦长为4 6
C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2 5
D. 直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x−y−5=0
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线BC1与直线AD1所成的角为90°
B. B1D⊥平面ACD1
C. 点B1到平面ACD1的距离为 32
D. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 33
12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 (x−a)2+(y−b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)= x2+4x+8− x2−4x+8有1个零点
B. 函数g(x)= x2+4x+8− x2−4x+8有2个零点
C. 函数ℎ(x)= x2+4x+8+ x2−4x+8有最小值4 2
D. 关于x的方程 x2+4x+8+ x2−4x+8=6的解为x=±3 55
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为 ．
14.圆C1：x2+y2−2x+10y−24=0与C2：x2+y2+2x+2y−8=0公共弦的长为______．
15.已知直线l过点A(1,2,3)，且直线l的方向向量为m=(1,0,−1)，则点P(1,1,1)到l的距离为______．
16.已知函数f(x)=2x2−1，正数数列{an}满足f(an+1)=an2且a1≠1，若不等式|an+2−an+1|≤λ|an+1−an|恒成立，则实数λ的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
(i)写出该试验的样本空间Ω；
(ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且|AB|=8，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．
(1)求该圆弧所在圆的方程；
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？(将汽车看作长方体)
21.(本小题12分)
如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成其中，∠FAB=90°，AB=AF=2，点G为弧CD的中点，且C，G，D，E四点共面．
(1)证明：D，G，B，F四点共面；
(2)若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为 216，求AD长．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，且离心率为12，设椭圆C的右顶点为B，点P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，记直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，且3k1+k2=0．
(1)求证：直线PQ过定点R；
(2)设直线AQ，BP相交于点T，记△ABT，△ABQ的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.A
5.B
6.C
7.B
8.B
9.ABD
10.BD
11.BD
12.ACD
13.23
14.2 5
15. 3
16. 22
17.解：(1)由Sn=n2，知a1=1．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1(n=1也成立)．
∴an=2n−1；
(2)由(1)知bn=2anan+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，
则数列{bn}的前n项和Tn=1−13+13−15+...+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．
18.解：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
因为A，B，C为两两互斥事件，
由已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，
解得P(A)=12P(B)=14P(C)=14，
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
(2)(i)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示试验的样本点，
则样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,a)，(1,b)，(2,1)，(2,2)，(2,a)，(2,b)，(a,1)，(a,2)，(a,a)，(a,b)，(b,1)，(b,2)，(b,a)，(b,b)}；
(ii)由(i)得n(Ω)=16，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，
则n(M)=6，
所以P(M)=616=38，
所以P(N)=1−P(M)=1−38=58，
因为58>38，所以此游戏不公平．
19.解：(1)由题意动点P(x,y)(x>0)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=−1的距离相等，
所以，曲线C是以F为焦点，直线x=−1为准线的抛物线(去掉顶点)，p2=1,p=2，
所以曲线C的轨迹方程是y2=4x(x>0)；
(2)若直线AB斜率不存在，则|AB|=4不合题意，因此直线AB斜率存在，
设直线AB方程为y=k(x−1)，代入曲线C方程整理得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2+4k2+2=8,k=±1，
所以直线AB方程为y=±(x−1)，即x+y−1=0或x−y−1=0．
20.解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
由图形可得A(−8,0)，B(8,0)，D(0,4)，
设该圆的半径为r米，则r2=82+(r−4)2，解得r=10，
圆心为(0,−6)，
故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100．
(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
则(d2)2+(6+1.6)2=102，
解得d=2 42.24．
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.52 42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．
21.解：(1)证明：解析一：
连接DG，因为AB⊥AF，AF=AB，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，∠DCE=45°，
在半圆DGC上，G是弧CD中点，所以∠GDC=45°，
所以DG/​/EC，又EC//FB，
所以DG//FB，B、F、D、G四点共面．
解析二：
直三棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
AF=AB=2，设AD=ℎ，
A(0,0,0)B(0,2,0)，F(2,0,0)，D(0,0,ℎ)，G(−1,1,ℎ)，
则DG=(−1,1,0)，FB=(−2,2,0)，FB=2DG，
所以DG//FB，B、F、D、G四点共面．
(2)直棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
AF=AB=2，设AD=ℎ，F(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,ℎ)，
FD=(−2,0,ℎ)，BF=(2,−2,0)，
设平面BFD的法向量为n=(x,y,z)．
则n⋅FD=0n⋅BF=0，有−2x+ℎz=0,2x−2y=0.，化简得x=ℎ2z,x=y,，取n=(ℎ,ℎ,2)，
A(0,0,0)，B(0,2,0)，G(−1,1,ℎ)，AB=(0,2,0)，AG=(−11,ℎ)，
设平面ABG的法向量为m=(r,s.t)，
则m⋅AB=0m⋅AG=0，有2s=0,−r+s+ℎt=0，化简得s=0r=ℎt,，所以取m=(ℎ,0,1)，
平面BDF与平面ABG所成二面角即n与m夹角或其补角，
所以|cs〈n,m〉|=|ℎ2+2| 2ℎ2+4 ℎ2+1= 216，
解得ℎ= 5，所以AD= 5．
22.解：(1)证明：因为A(−2,0)，
所以a=2，
因为椭圆C的离心率为12，
所以ca=12，
解得c=1，
此时b2=a2−c2=3，
则椭圆C的方程为x24+y23=1，
所以B(2,0)，
此时k1=yPxP+2，k2=yQxQ−2，
若PQ斜率为0，
则P，Q关于y轴对称，显然与3k1+k2=0矛盾，
所以PQ斜率不为0，
不妨设直线PQ的方程为x=ty+m(m≠±2)，
联立x=ty+mx24+y23=1，消去x并整理得(3t2+4)y2+6tmy+3m2−12=0，
此时Δ=36t2m2−12(3t2+4)(m2−4)>0，
由韦达定理得yP+yQ=−6tm3t2+4，yPyQ=3m2−123t2+4，
因为点P在椭圆C上，
所以xP24+yP23=1，
又k1⋅kBP=yPxP+2⋅yPxP−2=yP2xP2−4=−34，
因为3k1+k2=0，
所以3k1=−94kBP=−k2，
此时kBPk2=94，
即yPxP−2⋅yQxQ−2=yPyQxPxQ−2(xP+xQ)+4=94，
整理得xPxQ=(tyP+m)(tyQ+m)=t2yPyQ+tm(yP+yQ)+m2=3t2m2−12t23t2+4−6t2m23t2+4+m2=4m2−12t23t2+4，
又xP+xQ=t(yP+yQ)+2m=8m3t2+4，
综上得3m2−123t2+44m2−12t23t2+4−16m3t2+4+4=3m2−124m2−16m+16=94，
即m2−6m+8=0，
解得m=4或m=2(舍去)，
则直线PQ的方程为x=ty+4，
故直线PQ过定点R(4,0)；
(2)根据椭圆对称性，不妨设P，Q在椭圆的上半部分，
此时yP，yQ>0，
不妨令BP：y=yPxP−2(x−2)，AQ：y=yQxQ+2(x+2)，
联立y=yPxP−2(x−2)y=yQxQ+2(x+2)，
解得xT=2(xPyQ+xQyP)+4(yP−yQ)xQyP−xPyQ+2(yP+yQ)=2tyPyQ+6yP+2yQ3yP−yQ，
所以xT=2tyPyQ+6(yP+yQ)−4yQ3(yP+yQ)−4yQ，
因为yP+yQ=−24t3t2+4，yPyQ=363t2+4，
所以xT=72t3t2+4−144t3t2+4−4yQ−72t3t2+4−4yQ=1，
则点T在定直线x=1上，
因为S1=S△ABT=12|AB|⋅|yT|，S2=S△ABQ=12|AB|⋅|yQ|，
所以S1S2=|yTyQ|，(yT,yQ>0)，
若直线PQ无限接近x轴，即P，Q分别无限接近A，B，则xQ无限接近2，
由T，Q在直线AQ上，易知xT+2xQ+2=3xQ+2=yTyQ，且趋向于34，
若直线PQ无限接近椭圆的切线，此时P，Q，T接近重合，即yTyQ趋向于1，
所以S1S2∈(34,1)．