2024-2025学年湖南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=11+ 2i，则z=( )
A. 13− 23iB. 13+ 23iC. 13−23iD. 13+23i
2.设集合A={x||x+1|≤2}，B={y|y=ln(x2+1)}，则A∪B=( )
A. [0,1]B. [−3,0]C. [−3,+∞)D. [0,+∞)
3.若圆锥的轴截面是面积为 3的等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. 2πB. 3πC. 2 3πD. 3 3π
4.若角α满足cs(π3+α)=2cs(π6−α)，则cs(2α−π3)=( )
A. −45B. −35C. 45D. 35
5.已知平面上三个单位向量a，b，c满足c=2(a+b)，则a⋅c=( )
A. 12B. 32C. 14D. 34
6.如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数.已知函数f(x)=5x,0≤x≤2x2−4x+m,2b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设PD=34PQ，直线AD与椭圆Γ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆Γ的离心率e=( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆x2+y2−2x−6y+a=0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2，则实数a可能为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.已知函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为偶函数，f(x+1)为奇函数，则下列选项正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=−1对称B. f(x)的图象关于点(1,0)对称
C. f(−3)=1D. f(x)的一个周期为8
11.在棱长均为1的三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，点T满足AT=xAB+yAC+zAA1，其中x，y，z∈[0,1]，则下列说法一定正确的有( )
A. 当点T为三角形A1B1C1的重心时，x+y+z=2
B. 当x+y+z=1时，AT的最小值为 63
C. 当点T在平面BB1C1C内时，x+y+z的最大值为2
D. 当x+y=1时，点T到AA1的距离的最小值为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A，B满足P(A)=13，P(B)=14，P(A+B)=12，则P(AB)= ______．
13.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．
14.已知2024是不等式x+lg2(2x−3a)1+lg2a>2的最小整数解，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布．
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图(图2)，临界值c=99，从样本中该医学指标在[95,105]上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？
16.(本小题15分)
已知圆C：x2+y2−8y=0，过点P(2,2)的直线l与圆C交于A，B两点，点M满足2OM=OA+OB，其中O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若△CMP的面积为2，求|AB|．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD= 3，PB=PC= 6，∠APB=∠CPD=90°，点M，N分别是棱BC，PD的中点．
(1)求证：MN//平面PAB；
(2)若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知P( 2, 3)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形面积为2 3．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．
19.(本小题17分)
基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为a1+a22≥ a1a2.由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法.基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数An=a1+a2+…+ann=1ni=1nai(注：i=1nai=a1+a2+⋯+an)不小于它们的几何平均数Gn=(a1a2⋯an)1n=( ni=1ai)1n(注： ni=1ai=a1a2…an)，即
a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an(An≥Gn)，当且仅当a1=a2=⋯=an时，等号成立．
(1)已知x>y>0，求x+1y(x−y)的最小值；
(2)已知n个正数a1，a2，…，an且a1+a2+…+an=1．
(i)求证： ni=1(1−ai2)≥(n2−1)n ni=1ai2；
(ii)当n≥2024，求ni=1naiai+1−ai+13的最小值，其中an+1=a1．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.C
6.C
7.D
8.C
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.112
13.100π
14.[22021,22022)
15.解：(1)依题可知，图1第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以950恒成立，所以f(t)在[2,+∞)单调递增，
所以S△MNF2=22t+1t≤22×2+12=49．
所以△MNF2面积的最大值为：49．
19.解：(1)由均值不等式得x+1y(x−y)=y+(x−y)+1y(x−y)≥33y⋅(x−y)⋅1x−y=3，
当且仅当y=x−y=1y(x−y)，即x=2，y=1时，等号成立，
此时有x>y>0，x+1y(x−y)=2+12−1=3，满足题意；
所以x+1y(x−y)的最小值是3；
(2)(i)证明：由于a1，a2，…，an>0，a1+a2+...+an=1，故对i=1，2，⋯，n，
由均值不等式有1+ai=a1+a2+…+ai−1+ai+ai+ai+1+…+an≥(n+1)(a1a2⋯ai−1aiaiai+1⋯an)1n+1，
1−ai=a1+a2+...+ai−1+ai+1+...+an≥(n−1)(a1⋅a2⋅…⋅ai−1⋅ai+1⋅…⋅an)1n−1，
将二者相乘，得1−ai2≥(n2−1)⋅(a1⋅a2⋅…⋅ai−1⋅ai+1⋅…⋅an)2nn2−1⋅ai2n+1=( ni=1ai)2nn2−1ai−2n2−1，
再将该不等式对i=1，2……，n相乘，
即得 ni=1(1−ai2)≥( ni=1ai)2n2n2−1( ni=1ai)−2n2−1=( ni=1ai)2= ni=1ai2．
(ii)因为aiai+1−ai+13+n4(n2−1)2(1−ai+12)≥2 aiai+1−ai+13⋅n4(n2−1)2(1−ai+12)=2n2n2−1 aiai+1对任意i=1，2，3，…，n恒成立，
当且仅当ai=1n(i=1,2,3,…,n)时所有等号成立．
所以aiai+1−ai+13≥2n2n2−1 aiai+1+n4(n2−1)2(ai+12−1)，将该式对i=1，2……，n累加，
则有 ni=1aiai+1−ai+13≥2n2n2−1 ni=1 aiai+1+n4(n2−1)2( ni=1ai+12−n)，
由均值不等式可得 ni=1 aiai+1≥n( ni=1 aiai+1)1n=n，
由柯西不等式得n ni=1ai+12=n ni=1ai2≥( ni=1ai)2=1，
所以可得 ni=1aiai+1−ai+13≥2n2n2−1×n+n4(n2−1)2(1n−n)=n3n2−1，
故原式的最小值为n×n3n2−1=n4n2−1，当且仅当ai=1n(i=1,2,3,…,n)时取等号．