2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x24−y2=1的一条渐近线方程为( )
A. y=x2B. y=xC. y=2xD. y=4x
2.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AB的中点，则在下列直线中，与直线D1M相交的是( )
A. 直线AA1
B. 直线AB1
C. 直线AC1
D. 直线AD
3.设a≠0，b∈[0,2π).若关于x的等式sin(3x+b)=sin(ax+π5)恒成立，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知函数f(x)=x3−3x的图像为曲线Γ.关于命题①“任取平面上的一点P，与曲线Γ关于点P对称的曲线Γ1总能表示函数”和命题②“存在倾斜角α∈(π4,π2)的直线l，使得与曲线Γ关于l对称的曲线Γ2能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是( )
A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设x∈R，不等式|x−1|>4的解集为______．
6.已知全集U={1,2,3,4}，A={2,4}，则A−= ______．
7.已知复数z满足z(1−i)=4i(其中i是虚数单位)，则|z|= ______．
8.设m，n∈R.若向量a=(3,1,−2)与向量b=(m,−2,n)平行，则m+n= ______．
9.曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程为______．
10.(x+1x2)6的展开式中常数项是______.(用数字作答)
11.设a∈R，函数y=f(x)是奇函数.若f(1)=ea−3，f(−1)=1，则a= ______．
12.设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn.若a9=2a4，则S4a9= ______．
13.设a∈R，函数f(x)=2x,x>1,−x,x≤1.若关于x的方程f(x)=a恰有一解，则a的取值范围为______．
14.设a∈R.对于样本数据a，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的a的个数为______．
15.在空间中，O是一个定点，已知圆锥上的所有点到O的距离都不超过1，则当该圆锥的体积取得最大值时，底面半径为______．
16.在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ1：x225+y216=1以及圆Γ2：x2+y2=4，若点A、B分别在Γ1、Γ2上，点C满足BA⋅BC=1，则|AC|的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=BD=AA1．
(1)求证：直线BD1⊥AC；
(2)求二面角D1−AB−C的大小．
18.(本小题14分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=5．
(1)若A=π3，b=3c，求c；
(2)若A=π6，5csinB=3b，求△ABC的周长．
19.(本小题14分)
为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品.在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
(1)设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张.记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件B：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算P(A)、P(B)，并判断事件A，B是否独立；
(2)设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
20.(本小题18分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：x2=16y的焦点为F，过F的直线l与抛物线Γ及圆x2+(y−4)2=16的四个交点依次为A、C、D、B．
(1)若点A的纵坐标为1，求|AF|；
(2)证明|AC|⋅|BD|为定值，并求出该定值；
(3)过A、B分别作抛物线Γ的切线l1、l2，且l1、l2交于点M，求△ACM与△BDM的面积之和的最小值．
21.(本小题18分)
设函数y=f(x)的定义域为R.对于闭区间I，若存在x0∈I，使得对任意x∈I，均有f(x0)≥f(x)成立，则记Mf(I)=f(x0)；若存在x0∈I，使得对任意x∈I，均有f(x0)≤f(x)成立，则记mf(I)=f(x0).
(1)设f(x)=−x2+3x，分别写出Mf([0,2])及mf([0,2])；
(2)设n∈Z，f(x)=ex(x−2)2.若对任意闭区间I⊆(−∞,n]，均有不等式Mf(I)−mf(I)≤4成立，求n的最大值；
(3)已知对任意闭区间I，Mf(I)与mf(I)均存在，求证：“y=f(x)是R上的严格增函数或是R上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间I1，I2，Mf(I1)≠Mf(I2)与mf(I1)≠mf(I2)至少有一个成立”．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.(−∞,−3)∪(5,+∞)
6.{1,3}
7.2 2
8.−2
9.y=x−1
10.15
11.ln2
12.75
13.[−1,2]
14.3
15.2 23
16.32
17.解(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以DD1⊥底面ABCD，
AC⊂底面ABCD，所以DD1⊥AC，又DD1∩BD=D，DD1，BD⊂平面DD1B，
所以AC⊥平面DD1B，又D1B⊂平面DD1B，
所以BD1⊥AC．
(2)取BC中点E，因为AB=BD，且底面ABCD是菱形，则DE⊥BC，
以D为原点，直线DA为x轴，直线DE为y轴，直线DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图：

则不妨设A(1,0,0)，B(12, 32,0)，C(−12, 32,0)，D1(0,0,1)，
D1A=(1,0,−1)，AB=(−12, 32,0)，
设平面ABD1的法向量m=(x,y,z)，
则m⊥D1Am⊥AB，则x−z=0−12x+ 32y=0，
令y=1，得m=( 3,1, 3)，
平面ABC的法向量为n=(0,0,1)，
所以二面角D1−AB−C的平面角的余弦值为csθ= 3 3+3+1= 217，
所以二面角D1−AB−C的大小为arccs 217．
18.解：(1)∵a=5，A=π3，b=3c，
∴由余弦定理公式可得：
52=(3c)2+c2−2×3c×c×12，∴c2=257，
∴c=5 77；
(2)∵5csinB=3b，
∴由正弦定理可得5sinCsinB=3sinB，又sinB≠0，
∴sinC=35，又a=5，A=π6，a0.2，解得58.070在[1,+∞)恒成立，
即函数S=32(2t3−t)单调递增，
则当t=1，即当k=0时，即直线AB的方程为y=4时，
则△ACM与△BDM的面积之和的最小值为32．
21.解：(1)∵f(x)=−x2+3x=−(x−32)2+94,x∈[0,2]，
由二次函数的性质知，f(x)在[0,32)上单调递增，在(32,2]上单调递减，
∴f(x)max=f(32)=94，f(x)min=f(0)=0，
∴当x=32时，Mf([0,2])=f(x)max=94，
当x=0时，mf([0,2])=f(x)min=0．
(2)∵f(x)=ex(x−2)2，
∴f′(x)=ex(x−2)2+2ex(x−2)=ex(x−2)(x−2+2)=exx(x−2)，
又∵ex>0，
令f′(x)>0，即x(x−2)>0，可得x2，令f′(x)