2024-2025学年广东省湛江市雷州市龙门中学、客路中学两校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市雷州市龙门中学、客路中学两校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|120)为奇函数，则a+b=
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8+a2=12，则S11= ．
14.设x−y+1=0，求d= x2+y2+6x−10y+34+ x2+y2−4x−30y+229的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情。经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么tmin后茶水的温度θ(单位：℃)，可由公式θ(t)=θ0+(θ1−θ0)e−kt求得，其中k是常数，为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从t=0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
(1)请你利用表中的一组数据t=5，θ=65.00，求k的值，并求出此时θ(t)的解析式(计算结果四舍五入精确到0.01) ;
(2)在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至55℃时再饮用，根据(1)的结果，王大爷要等待多长时间?(计算结果四舍五入精确到1分钟)．
参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.693，e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，Sn=an+n2−1．
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=1an，Tn=b1b2+b2b3+⋯+bnbn+1，求Tn．
17.(本小题15分)
三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB=3，BC=2，BB1=1，AE=2EB，A1C与AC1交于D．
(Ⅰ)证明：DE//平面A1BC1；
(Ⅱ)求异面直线A1C1与DE的距离．
18.(本小题17分)
已知直线l1:mx−y+m=0，l2:x+my−m(m+1)=0，l3:(m+1)x−y+(m+1)=0，记l1∩l2=C，l2∩l3=B，l3∩l1=A．
(1)当m=2时，求原点关于直线l1的对称点坐标；
(2)求证：不论m为何值，ΔABC总有一个顶点为定点；
(3)求ΔABC面积的取值范围. (可直接利用对勾函数的单调性)
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(1+eax)−bx是偶函数，e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯
(1)求 a2+b2−2a+1的最小值；
(2)当b=1时，
(i)令g(x)=f(1−x)+f(1+x)，x∈[−1,1]，求g(x)的值域；
(ii)记i=1nai=a1+a2+...+an，已知−1≤xi≤2，(i=1,2,…,1000)，且i=11000xi=1000，当i=11000f(xi)取最大值时，求x12+x22+...+x10002的值．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.C
5.C
6.C
7.B
8.A
9.AD
10.BD
11.AB
12.12
13.44
14. 293
15.解：(1)∵θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，
且当θ1=60℃，θ0=25℃，
t=5min时，θ=65℃，
∴65=25+(85−25)e−5k，∴e−5k=23，
∴k=−15ln23=−15(ln2−ln3)≈0.08，
∴θ(t)=25+60e−0.08t；
(2)∵θ(t)=25+60e−0.08t，
代入θ=55，得：55=25+60e−0.08t，即e−0.08t=12，
所以：−0.08t=ln12=−ln2，
t=−ln2−0.08=≈9，
王大爷要等待约9分钟．
16.解：(1)因为Sn=an+n2−1，
所以当n≥2时，Sn−1=an−1+(n−1)2−1，
两式相减得：an=an−an−1+2n−1，即an−1=2n−1，
所以an=2n+1，且a1=3符合，
所以{an}的通项公式为an=2n+1；
(2)由(1)可知bn=1an=12n+1，
所以bkbk+1=12k+1⋅12k+3=12(12k+1−12k+3)，
所以Tn=b1b2+b2b3+⋯⋯+bnbn+1
=12[(13−15)+(15−17)+(17−19)+⋯+(12n+1−12n+3)]
=12(13−12n+3)=n3(2n+3)．
17.(Ⅰ)证明：因为AB=2A1B1，
所以由三棱台的性质知，AC=2A1C1，且AC/​/A1C1，
所以△ACD∽△C1A1D，
所以ADDC1=ACA1C1=2，即AD=2DC1，
因为AE=2EB，
所以DE//C1B，
又DE⊄平面A1BC1，C1B⊂平面A1BC1，
所以DE/​/平面A1BC1．
(Ⅱ)解：因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面AA1B1B，
因为BB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BB1，
又AC⊥BB1，BC∩AC=C，BC、AC⊂平面ABC，
所以BB1⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，
故AB，BC，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A1(32,0,1)，C1(0,1,1)，E(1,0,0)，
所以BA1=(32,0,1)，BC1=(0,1,1)，BE=(1,0,0)，
由(Ⅰ)知，DE/​/平面A1BC1，
因为A1C1⊂平面A1BC1，
所以异面直线A1C1与DE的距离等价于直线DE到平面A1BC1的距离，即点E到平面A1BC1的距离，
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BA1=0n⋅BC1=0，即32x+z=0y+z=0，
取y=3，则z=−3，x=2，所以n=(2,3,−3)，
所以点E到平面A1BC1的距离为|BE⋅n||n|=2 4+9+9= 2211，
故异面直线A1C1与DE的距离为 2211．
18.解：(1)当m=2时，直线l1 的方程为：2x−y+2=0，且斜率k1=2，
设原点关于直线l1 的对称点为 (x0,y0)，则由斜率与中点坐标公式列方程得：y0x0=−122×x02−y02+2=0,
解得：x0=−85y0=45，故所求点的坐标为(−85,45)．
(2)∵直线l1:mx−y+m=0⇒m(x+1)−y=0，恒过点(−1,0)．
l3:(m+1)x−y+(m+1)=0⇒(m+1)(x+1)−y=0，恒过点(−1,0)．
故ΔABC总有一个顶点为定点(−1,0)．
(3)由条件可得l1与l2垂直，所以角C为直角，
所以S=12AC·BC，
|BC|等于点B到l1的距离，
由l2,l3的方程联立可得B(0,m+1)，所以|BC|=|−m−1+m| m2+1=1 m2+1，
|AC|等于点A(−1,0)到直线l2距离，
故|AC|=1+m+m2 1+m2，
所以三角形面积S=12·1+m+m21+m2=12(1+1m+1m)，
当m>0时，有 1m+1m有最大值12；
当m