湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期11月期中检测数学试题（含答案）

这是一份湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期11月期中检测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面向量a=1,2，b=1−λ,λ，a⊥b，则实数λ=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
2.若p：lg4a−1bB. a>b>cC. a>c>bD. c>b>a
5.已知α，β都是锐角，tanαtanβ=3，sinα+β=13，则csαsinβ=( )
A. 14B. 16C. 18D. 112
6.已知O为▵ABC的外接圆圆心，BC=2，∠BAC=30∘，则AB⋅OC的最大值为( )
A. 4B. 6C. 2 3D. 4 3
7.某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点进行测量．如图，AC=20(单位：米)，点B为AC中点，兴趣小组组长小王在A，B，C三点正上方2米处的A1，B1，C1观察建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tanα= 62，tanβ=2，tanγ= 3，点D为点E在地面上的正投影，点D1为DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点，则建筑物的高度DE为( )米．
A. 20B. 22C. 40D. 42
8.设函数fx=ex−1−e1−x+sinx−1，则关于x的不等式fx2−x−2+f−2x≥0的解集为( )
A. −1,4B. −∞,−1∪4,+∞
C. −2,1D. −∞,−2∪1,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数fx=x3−x+3，gx=fxx+1，fx的导数为f′x，则( )
A. f′−1=2
B. 当f′x0=2时，x0=−1
C. 曲线y=gx在点1,4处的切线方程为x+y−5=0
D. 当x>0时，g−x0,φn−109．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.B
9.ACD
10.BD
11.ACD
12. 3
13.0,10
14.2
15.(1)
因为 3asinC−acsC=c−b，
由正弦定理得 3sinAsinC−sinAcsC=sinC−sinB，
则 3sinAsinC−sinAcsC=sinC−sinA+C=sinC−sinAcsC−csAsinC，
即 3sinAsinC+csAsinC=sinC，
又sinC>0，所以 3sinA+csA=1，所以sinA+π6=12，
又A∈0,π，所以A+π6∈π6,7π6，
所以A+π6=5π6，所以A=2π3；
(2)
如图，由题意及第(1)问知，∠BAD=∠CAD=π3，
且S▵ABC=S▵BAD+S▵CAD，
∴12bcsin∠BAC=12×c×AD×sin∠BAD+12×b×AD×sin∠CAD，
∴12bc× 32=12×c× 3× 32+12×b× 3× 32，化简得bc= 3b+c，
∵b>0，c>0，∴由基本不等式得bc= 3b+c≥2 3⋅ bc，∴ bc≥2 3，
当且仅当b=c=2 3时，等号成立，
∴bc≥12，
∴S△ABC=12bcsin∠BAC≥12×12× 32=3 3，
故▵ABC的面积的最小值为3 3．


16.(1)
fx=asinx+csxcsx=asinxcsx+cs2x=12asin2x+1+cs2x2
= a2+14sin2x+φ+12，其中tanφ=1a，
由于a>0，fx≤fπ6，故sinπ3+φ=1，
所以π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，
1a=tanπ6+2kπ= 33,k∈Z，解得a= 3；
(2)
由(1)得，不妨取φ=π6，故fx=sin2x+π6+12，
∀x1∈0,π4，∃x2∈−π6,0，使得gx1≤fx2，
则只需gxmax≤fxmax，
其中x∈−π6,0时，2x+π6∈−π6,π6，故fx=sin2x+π6+12∈0,1，
则fxmax=1，
令sinx+csx=t，则sinxcsx=t2−12，
则gx=bsinx+csx−sinxcsx=bt−t2−12=−12t−b2+1+b22，
其中t=sinx+csx= 2sinx+π4，
因为x∈0,π4，所以x+π4∈π4,π2，t= 2sinx+π4∈1, 2，
若b≤1，此时ℎt=−12t−b2+1+b22在t∈1, 2上单调递减，
故ℎtmax=ℎ1=b，故b≤1，
若10，故x0=ln1x0，即ex0=1x0；
又gx0=ex0−lnx0+1x0=1x0−lnx0+1x0=−lnx0x0=ln1x0x0=1．
故y=gx的最小值为1．

18.(1)
由题意可知：b=1e=ca= 32a2=b2+c2，解得a=2b=1c= 3,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)
若AM⋅AN=0，可知直线l的斜率存在，

设直线l：y=kx+mm≠1，Mx1,y1,Nx2,y2，
联立方程y=kx+mx24+y2=1，消去y可得4k2+1x2+8kmx+4m2−4=0，
则Δ=64k2m2−44k2+14m2−4>0，整理可得m20，
fx=sinx+ax3−x在(0,+∞)上单调递增，
使得f(x)=sinx+ax3−x>0恒成立．
综上所述，a的取值范围是16,+∞．
(3)
由(2)可知，当x>0，a=16时，f(x)=sinx+16x3−x>0恒成立，
即x>0时，sinx>x−x36恒成立，
下证：i=1n−1ki>n−109，
i∈N∗时，ki=g12i+1−g12i12i+1−12i=2i+1sin12i−sin12i+1
=2i+12sin12i+1cs12i+1−sin12i+1=2i+1sin12i+12cs12i+1−1，
由上述分析可知，mx=csx+x22−1>0，即csx>1−x22，则cs12i+1>1−122i+3>0，
所以2i+1sin12i+12cs12i+1−1>2i+1sin12i+121−122i+3−1
=2i+1sin12i+11−122i+2>2i+112i+1−16⋅23i+31−122i+2
=1−16⋅22i+21−122i+2=1−76×122i+2+16×124i+4>1−76×122i+2，
i=1n−1ki>n−1−76124+126+128+⋯+122n=n−1−76⋅1161−14n−11−14=n−1−718×14−14n
=n−1−772+718×14n=n−7972+718×14n>n−7972>n−8072=n−109，即得证．