2024-2025学年北京市房山区高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市房山区高三上学期期中考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x|x4，集合B=x−2≤x≤3，则A∩B为( )
A. x−2≤x≤0B. x|x≤3或 x≥4
C. x−2≤x0；在1,2上，f′x0
∴fx在−∞,1，2,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，
∴fx在x=1处取得极大值，∴x0=1；
(2)因为f′x=3ax2+2bx+c且f′1=0，f′2=0，f1=5，
得：3a+2b+c=012a+4b+c=0a+b+c=5，解得：a=2，b=−9，c=12；
(3)由(2)得fx=2x3−9x2+12x，则f′x=6x2−18x+12=6x−1x−2，
可知：fx在−1,1上单调递增，在1,2上单调递减，在2,3上单调递增，
∴fxmax=maxf1,f3，fxmin=minf−1,f2，
又f1=5，f3=9，f−1=−2−9−12=−23，f2=4，
∴fxmax=f3=9，fxmin=f−1=−23．

18.(1)因为fx=Asinωxcsωx=A2sin2ωx，则fx为奇函数，故②不能选，
选择条件①③：
因为函数fx的最大值为1，所以A2=1，即A=2，
因为fπ4=1，所以sinπ2ω=1，ω的值不唯一，故不能选．
选择条件①④：
因为函数fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2π2ω=π，即ω=1，
所以fx=A2sin2x，
因为fπ4=1，所以A2sinπ2=1，即A=2，
所以fx=sin2x．
选择条件③④：
因为函数fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2π2ω=π，即ω=1，
因为函数fx的最大值为1，所以A2=1，即A=2，
所以fx=sin2x．
(2)因为gx=fx−2cs2ωx+1=sin2x−2cs2x+1=sin2x−cs2x= 2sin2x−π4，
令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，
所以函数gx的单调递增区间为kπ−π8,kπ+3π8，k∈Z，
当x∈−π4,π4时，2x−π4∈−3π4,π4，所以sin2x−π4∈−1, 22，
所以当2x−π4=π4，即x=π4时gx取得最大值，且gxmax=1．

19.(1)在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连结D1C，设D1C∩DC1=O，
连结OE，在△D1BC中，因为O、E分别为D1C,BC的中点，
所以OE//D1B，又因为OE⊂平面C1DE，D1B⊄平面C1DE，
所以D1B//平面C1DE．
(2)(i)
选择条件①：
因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，
侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1A1∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
故CD⊥平面ADD1A1，又DD1⊂平面ADD1A1，则CD⊥DD1，
即四边形DCC1D1为矩形，因为D1D=3,CD=C1D1=2，则C1D= 13，
与选择条件①：C1D= 13等价，故条件C1D= 13不能进一步确定DD1,AD的夹角大小，故二面角D−C1E−B1不能确定；
选择条件②：
连结D1A，因为底面ABCD是正方形，所以BA⊥AD，
又因为侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1A1∩平面ABCD=AD，BA⊂平面ABCD，
所以BA⊥平面ADD1A1，又D1A,DD1⊂平面ADD1A1，所以BA⊥D1A,BA⊥D1D，
在Rt▵D1AB中，因为D1B= 17，AB=2，所以D1A= 13，
在▵D1AD中，因为AD=2，D1D=3，所以AD⊥DD1，
又AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD，所以DD1⊥平面ABCD，又AD⊥CD，
所以如图建立空间直角坐标系D−xyz，其中D(0,0,0)，C1(0,2,3)，E(1,2,0)，C(0,2,0)，
且DC1=(0,2,3)，DE=(1,2,0)，易知DC=(0,2,0)为平面C1EB1的一个法向量，
设n=x,y,z为平面C1DE面的一个法向量，则n⋅DC1=0,n⋅DE=0,即2y+3z=0x+2y=0．
不妨设y=−3，则x=6,z=2，可得n=(6,−3,2)，所以csDC,n=DC⋅nDCn=−62× 49=−37，
因为二面角D−C1E−B1的平面角是钝角，设为θ，故csθ=−37，
所以二面角D−C1E−B1的余弦值为−37．
选择条件③：
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，
因为AD⊥C1D，且DC∩C1D=D,DC,C1D⊂平面C1D1DC，
所以AD⊥平面C1D1DC，因为D1D⊂平面C1D1DC，所以AD⊥D1D，
因为侧面ADD1A1⊥平面ABCD，且侧面ADD1A1∩平面ABCD=AD，D1D⊂平面ABCD，
所以D1D⊥平面ABCD，又AD⊥CD，
所以如图建立空间直角坐标系D−xyz，(下面同选择条件②)．
(ii)如图所示，
A1E⊄平面C1ED，理由如下：
A1D//B1C，B1C与C1E相交，所以直线A1D与直线C1E异面，
这表明A1,D,C1,E四点不共面，即A1E⊄平面C1ED．

20.(1)解：当k=2时，fx=ln1+x−x+x2，f′x=11+x−1+2x，
则f′1=12−1+2=32，f1=ln2，
所以曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−ln2=32x−1，即3x−2y+2ln2−3=0．
(2)由题意可知：fx的定义域为−1,+∞，且f′x=11+x−1+kx=xkx+k−11+x，
(i)当k=0时，f′x=−x1+x，
当x>0时，f’(x)0时，即0