湖南省炎德英才名校联考联合体2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，则∁UM=( )
A. {4}B. {2,4}C. {2,5}D. {2}
2.1−i2−i=( )
A. 15+35iB. 15−35iC. 35+15iD. 35−15i
3.已知向量a，b满足a=(1,2)，b=(x,1)，且(a−b)⊥a，则x=( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
4.已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为 3，则正四棱锥的体积为( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 6 3
5.已知函数f(x)=3x−3−x，则f(x2−2)+f(x)0，00)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，F2A=2F1A，△ABF2的面积为8 3，且∠AF2B为钝角，|AF2|−|AF1|=4，则双曲线C的方程为( )
A. x24−y22=1B. x24−y28=1C. x24−y224=1D. x216−y29=1
8.已知函数f(x)=ex|x|，若方程[f(x)−e][f(x)+e+a]=0恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−e)B. (−∞,−2e)C. (−∞,−2e)D. (−∞,−1e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S100.则( )
A. a5>0B. d>0
C. Sn>0时，n的最小值为11D. Sn最小时，n=6
10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=AA1，BC⊥AB，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是( )
A. AB1⊥EG
B. EG，FH，AA1三线不共点
C. AB与平面EFHG所成角为45∘
D. 设BC=2，则多面体EGB1FHC1的体积为1
11.已知抛物线C1:y2=px(p>0)和C2:y2=2px的焦点分别为F1，F2，动直线l与C1交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，与C2交于P(x3,y3)，Q(x4,y4)两点，其中y1，y3>0，y2，y40)，证明：函数F(x)有唯一的极值点．
17.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4，点E是CD的中点，将△CBE沿BE对折至△PBE，使得PA=4，点F是PD的中点．
(1)求证：PA⊥EF;
(2)求二面角A−BF−E的正弦值．
18.(本小题17分)
电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占35，得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率α=0.001的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关;
(2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率;
(3)用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
19.(本小题17分)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1:在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B;
步骤2:把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合;
步骤3:把纸片展开，并得到一条折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕．
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，AB=4，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线WA交于点E，E的轨迹为曲线T．
(1)以AB所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程;
(2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆x2+y2=1交于M，N两点(点M在点N的左侧)，记EM，HN的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k2为定值;
(3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点Q(t,0)，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有QC⋅QD=0成立?若存在，求出T的坐标;若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.B
9.BC
10.AC
11.BCD
12.2x−y−2=0
13.−2025
14.60；3333330
15.解：(1)由sinA−sinBb+c=sinCa+b及正弦定理得a−bb+c=ca+b，
整理得a2=b2+c2+bc，
又由余弦定理的推论得，csA=b2+c2−a22bc=−12，00时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，
所以ex−x−1>0，即ex>x+1，
所以F′(1+a)=ea−11+a−a>a+1−11+a−a=1−11+a>0．
又F′(1)=−a0，
则x1+x2=−2km1+k2，x1x2=m2−11+k2，
因为k1=y1x1+1，k2=y2x2−1，
所以k1⋅k2=y1x1+1⋅y2x2−1=y1y2x1x2−(x1−x2)−1，
又因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
代入可得y1y2=m2−k21+k2，
由于m2=k2−3，则y1y2=−31+k2，
由于点M在点N的左侧，故x1−x20，且k3≠± 3，
则x3+x4=4k32k32−3，x3x4=4k32+3k32−3，
QC=(x3−t,y3)，QD=(x4−t,y4)，
则QC⋅QD=(x3−t)(x4−t)+y3y4
=x3x4−t(x3+x4)+t2+k32x3x4−2k32(x3+x4)+4k32
=(t2−4t−5)k32−3t2+3k32−3，
若QC⋅QD=0恒成立，则(t2−4t−5)k32−3t2+3=0恒成立，
即t2−4t−5=0,−3t2+3=0,解得t=−1，
当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=2，
此时4−y23=1，解得y=±3，
不妨取C(2,3)，D(2,−3)，
则QC=(2−t,3)，QD=(2−t,−3)，
又QC⋅QD=(2−t)2−9=0，解得t=−1或t=5，
综上所述，t=−1，
所以存在点Q(−1,0)，使QC⋅QD=0恒成立． 偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
女性市民
合计
500
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828