高考数学二轮复习讲义练习专题1.9 全称量词与存在量词-重难点题型精讲（教师版）

这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题1.9 全称量词与存在量词-重难点题型精讲（教师版），共13页。试卷主要包含了全称量词与全称量词命题，命题的否定与原命题的真假等内容，欢迎下载使用。

1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
4．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【方法点拨】
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
【例1】（2021秋•普宁市校级月考）下列命题中全称量词命题的个数为（ ）
①正方形的对角线互相平分；
②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】直接利用特称命题和全称命题的判定求出结果．
【解答过程】解：对于①正方形的对角线互相平分，为全称量词命题；
对于②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上，为全称量词命题；
③存在一个菱形，它的四条边不相等，为特称量词命题．
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•临沂期中）下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A．∃x∈R，x2≤0
B．当a＝3时，函数f（x）＝ax+b是增函数
C．存在平行四边形的对边不平行
D．平行四边形都不是正方形
【解题思路】根据全称量词命题的定义进行判断即可．
【解答过程】解：对于A，命题中含有表示存在量词的符号∃，故该命题为特称命题，所以A错误；
对于B，命题不含有全称量词，故不是全称量词命题，故B错误；
对于C，命题中的“存在”是存在量词，故该命题为特称命题，所以C错误；
对于D，命题中的“都不是”属于全称量词，故该命题为全称量词命题，所以D正确；
故选：D．
【变式1-2】（2020秋•沧州期中）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．有一个偶数是素数
B．至少存在一个奇数能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是360°
【解题思路】直接利用全称命题和特称命题的定义判断即可．
【解答过程】解：A，有一个，存在性量词，特称命题，
B，至少存在一个，存在性量词，特称命题，
C，有些，存在性量词，特称命题，D，每个，全称量词，全称命题，
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•苍南县校级月考）下列命题中
（1）有些自然数是偶数；
（2）正方形是菱形；
（3）能被6整除的数也能被3整除；
（4）对于任意x∈R，总有1x2+1≤1．
存在量词命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，判断即可．
【解答过程】解：对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；
对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；
对于（4），对于任意x∈R，总有1x2+1≤1，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．
所以存在量词命题的序号是（1），有1个．
故选：B．
【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【方法点拨】
判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．
【例2】（2022春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（ ）
A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题
B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题
【解题思路】举例说明n＝1时2n2+5n+2不能被2整除，n＝2时2n2+5n+2能被2整除，从而得出结论．
【解答过程】解：当n＝1时，2n2+5n+2不能被2整除，
当n＝2时，2n2+5n+2能被2整除，
所以A、B、D错误，C项正确．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•武汉期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2+2x+4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
【解题思路】根据含有量词的命题的真假进行判断即可．
【解答过程】解：A．若x=2，则x2＝2是有理数，故A错误
B．∵x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，∴存在一个实数x，使x2+2x+4＝0错误．
C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，
D.2是质数，但2不是奇数，故D错误，
故选：C．
【变式2-2】（2022春•丰城市校级期中）下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3B．∃x0∈Z，4x0+1＝0
C．∀x∈R，x2﹣1＝0D．∀x∈R，x2﹣2x+2≥0
【解题思路】根据全称命题和特称命题的定义进行推理和证明即可．
【解答过程】解：若1＜4x0＜3，得14＜x0＜34，则x0∉z，故A错误，
由4x0+1＝0得x0=−14，则x0∉z，故B错误，
由x2﹣1＝0得x＝±1，故C错误，
x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥0恒成立，故D正确，
故选：D．
【变式2-3】（2022春•罗甸县校级月考）下列命题中是假命题是（ ）
A．∀x∈R，|x|+1＞0B．∃x∈R，1|x|+1＝2
C．∃x∈R，|x|＜1D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0
【解题思路】根据∀x∈R，|x|≥0，可判断A，给x取值可判断BCD．
【解答过程】解：因为∀x∈R，|x|≥0，所以∀x∈R，|x|+1＞0恒成立，所以A为真命题；取x＝1，满足1|x|+1＝2，所以B为真命题；
取x＝0.1，满足|x|＜1，所以C为真命题；取x＝1∈N*，不满足（x﹣1）2＞0，所以D为假命题．
故选：D．
【题型3 根据命题的真假求参数】
【方法点拨】
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
【例3】（2021春•泰安期末）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【解题思路】由p为假命题，得￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，则x≠1﹣a，由此可得a的取值范围．
【解答过程】解：∵p为假命题，
∴￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，即x≠1﹣a，
∴1﹣a≤0，则a≥1．
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故选：D．
【变式3-1】（2020秋•普宁市期中）若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m＞1C．m＜1D．m≤1
【解题思路】命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则m≠﹣（x2﹣2x），利用二次函数的单调性求出其最大值即可得出．
【解答过程】解：命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则m≠﹣（x2﹣2x），∵﹣（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2+1≤1，
∴m＞1．
∴实数m的取值范围是（1，+∞）．
故选：B．
【变式3-2】（2022•四川模拟）若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，1]C．[1，+∞）D．[0，1]
【解题思路】由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．由“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，可得m＞1．利用“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，即可得出．
【解答过程】解：由|x|﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．
∵“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0，
∴m＞1．
∵“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，
∴﹣1＜m≤1．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋•黄石月考）已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
【解题思路】根据条件，可得“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命题，然后求出m的取值范围即可．
【解答过程】解：命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，
所以它的否定命题“任意x∈{x|﹣2＜x＜3}，都有等式2x﹣m≠0成立”是真命题，
即m≠2x，所以m≤﹣4或m≥6，
即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．
故选：D．
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】
【方法点拨】
对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq \(――→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq \(――→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【例4】（2022春•阿勒泰地区期末）全称命题：∀x∈R，x2+5x＝4的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+5x＝4B．∀x∈R，x2+5x≠4
C．∃x∈R，x2+5x≠4D．以上都不正确
【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答过程】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴∀x∈R，x2+5x＝4的否定是：∃x∈R，x2+5x≠4．
故选：C．
【变式4-1】（2021秋•荷塘区校级期末）命题“∃x∈R，使x＞1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有x＞1B．∃x∈R，使x＜1
C．∀x∈R，都有x≤1D．∃x∈R，使x≤1
【解题思路】根据命题“∃x∈R，使得x＞1”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使得x≤1，从而得到答案．
【解答过程】解：∵命题“∃x∈R，使得x＞1”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，使得x≤1
故选：C．
【变式4-2】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0
C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
【解题思路】将量词否定，结论否定，可得结论．
【解答过程】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选：B．
【变式4-3】（2021•衡阳县校级四模）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（ ）
A．∀x∈Z，2x∉AB．∀x∉Z，2x∈AC．∃x∈Z，2x∈AD．∃x∈Z，2x∉A
【解题思路】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
【解答过程】解：全称命题的否定是特称命题，∴￢p：∃x∈Z，2x∉A．
故选：D．
【题型5 命题否定的真假判断】
【方法点拨】
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，
当原命题为假时，命题的否定为真.
【例5】写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）正方形都是菱形；
（2）∃x∈R，使4x﹣3＞x；
（3）∀x∈R，有x+1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【解题思路】逐一写出并判断
【解答过程】解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：∀x∈R，有4x﹣3≤x．因为当x＝2时，4×2﹣3＝5＞2，所以“∀x∈R，有4x﹣3≤x”是假命题．
（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x＝2时，x+1＝2+1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
【变式5-1】（2021秋•邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．
【解题思路】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）由于命题中含有全称量词“任意的”，
因此，该命题是全称量词命题．
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，
所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+1＝0成立，
即“∃x∈R，使x2+x+1＝0．”
因为Δ＝﹣3＜0，所以方程x2+x+1＝0无实数解，
此命题为假命题．
（Ⅱ）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，
所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+5＞0成立．
即“∀x∈R，有x2+3x+5＞0”．
因为Δ＝﹣11＜0，所以对∀：x∈R，x2+3x+5＞0总成立，
此命题是真命题．
【变式5-2】（2021秋•广平县校级期中）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）∀x∈N，x3＞x2；
（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0；
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【解题思路】（1）全称命题，为假命题．（2）全称命题，为假命题．（3）特称命题，假命题．（4）特称命题真命题．
【解答过程】解：（1）全称命题，当x＝0时，结论不成立，所以为假命题．命题的否定：∃x∈N，x3≤x2
（2）全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；
（3）特称命题，x02﹣x0+1=(x0−12)2+34≥34，所以结论不成立，为假命题．命题的否定：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．
（4）特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
【变式5-3】（2021秋•澄城县校级月考）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数．
【解题思路】判断命题的量词，根据特称命题和全称命题的定义和性质进行判断即可．
【解答过程】解：（1）含有特称量词存在，命题为特称命题，
命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3＞0；该命题为真命题．
（2）含有特称量词有些，命题为特称命题，
命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为假命题．
（3）含有全称量词每一个，命题为全称命题，
命题的否定是：方程x2﹣8x﹣10＝0的至少有一个根是奇数．故命题为假命题．
【题型6 根据命题否定的真假求参数】
【方法点拨】
结合题目条件，根据命题的否定的真假与原命题的真假之间的关系进行转化求解，进而求出参数即可.
【例6】（2022春•荆州期末）已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣4，4）D．（﹣2，4）
【解题思路】根据命题p与￢p的真假性相反得出p是假命题，
利用Δ＜0求出a的取值范围．
【解答过程】解：命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；
若￢p是真命题，则命题p是假命题，
所以一元二次方程x2﹣ax+1＝0没有实根；
即Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；
所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．
故选：B．
【变式6-1】（2022•香洲区校级学业考试）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解题思路】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用Δ＞0求得a的取值范围．
【解答过程】解：命题“∃x0∈R，x 02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，
则命题“∃x0∈R，x 02+（a﹣1）x0+1＜0”是真命题，
即Δ＝（a﹣1）2﹣4＞0，
解得a﹣1＞2或a﹣1＜﹣2，
即a＞3或a＜﹣1；
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
故选：D．
【变式6-2】（2022春•福建月考）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解题思路】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，可得：“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题．
则Δ＜0．
【解答过程】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，
∴“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题．
∴Δ＝（a﹣1）2﹣4＜0，解得：﹣1＜a＜3．
则实数a的取值范围是（﹣1，3）．
故选：B．
【变式6-3】（2021•枣庄校级模拟）命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4]B．[0，4]
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
【解题思路】将条件转化为ax2+ax+1＜0成立，检验a＝0是否满足条件，讨论a＞0以及a＜0时，不等式的解集情况，从而求出a的取值范围．
【解答过程】解：命题p的否定是￢p：∃x∈R，ax2+ax+1＜0成立，
即ax2+ax+1＜0成立是真命题；
当a＝0时，1＜0，不等式不成立；
当a＞0时，要使不等式成立，须a2﹣4a＞0，
解得a＞4，或a＜0，即a＞4；
当a＜0时，不等式一定成立，即a＜0；
综上，a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
故选：D．