高考数学二轮复习讲义练习专题5.1 任意角和弧度制-重难点题型精讲（教师版）

这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题5.1 任意角和弧度制-重难点题型精讲（教师版），共15页。试卷主要包含了任意角，象限角与终边相同的角，角度制、弧度制的概念，角度与弧度的换算，弧长公式、扇形面积公式，弧度制下角的终边的对称与垂直等内容，欢迎下载使用。

1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
(3)角的表示
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
(4)角的相等
设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称=.
(5)角的加、减法
①角的加法
设,是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+.
②相反角的概念
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-.
③角的减法
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-=+(-).这样，角的减法可以
转化为角的加法.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
③轴线角的集合表示

(3)区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
(4)角的终边的对称问题与垂直问题
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
(3)弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋
转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
4．角度与弧度的换算
(1)弧度与角度的换算公式
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
(3)用弧度表示终边相同的角
用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为
.
5．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为.
(1)弧长公式
由公式，可得.
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
6．弧度制下角的终边的对称与垂直
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
【题型1 终边相同的角的表示】
【方法点拨】
根据与角终边相同的角的集合为，进行求解即可．
【例1】（2022·山东·高二阶段练习）下列与角2π3的终边一定相同的角是（ ）
A．5π3B．k·360∘+2π3(k∈ Z)
C．2kπ+2π3(k∈ Z)D．(2k+1)π+2π3(k∈ Z)
【解题思路】根据终边相同角的表示，即可得解.
【解答过程】与角2π3终边相同角可以表示为{α|α=2π3+2kπ,k∈ Z }
对A，由{α|α=2π3+2kπ,k∈ Z }找不到整数k让α=5π3，所以A错误
对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，
C项正确，
对D 项，当k=0时，角为5π3，当k=−1时，角为−π3，得不到角2π3，故D错误，
故选：C.
【变式1-1】（2022·浙江高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（ ）
A．30∘B．240∘C．390∘D．330∘
【解题思路】写出与角α=−30∘终边相同的角的集合，取k值得答案.
【解答过程】解：与角α=−30∘终边相同的角的集合为{β|β=−30∘+k×360∘,k∈Z}，
取k=1时，β=−30∘+1×360∘=330∘.
故选：D.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）终边落在直线y=3x上的角α的集合为（ ）
A．αα=k⋅180°+30°,k∈ZB．αα=k⋅180°+60°,k∈Z
C．αα=k⋅360°+30°,k∈ZD．αα=k⋅360°+60°,k∈Z
【解题思路】先确定y=3x的倾斜角为60∘，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【解答过程】易得y=3x的倾斜角为60∘，
当终边在第一象限时，α=60°+k⋅360°，k∈Z；
当终边在第三象限时，α=240°+k⋅360°，k∈Z．
所以角α的集合为αα=k⋅180°+60°,k∈Z．
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（ ）
A．α+β=0°B．α−β=90°
C．α+β=k⋅360°k∈ZD．α−β=k⋅360°+90°k∈Z
【解题思路】先根据终边相同的角分别表达出α,β，再分析α+β，α−β即可.
【解答过程】利用终边相同的角的关系，
得α=n⋅360°+x+45°n∈Z，β=m⋅360°+x−45°m∈Z.
则α+β=m+n⋅360°+2xn∈Z,m∈Z与x有关，故AC错误；
又α−β=n−m360°+90°n∈Z,m∈Z．
因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用kk∈Z表示，
所以α−β=k⋅360°+90°k∈Z.
故选：D．
【题型2 象限角的判定】
【方法点拨】
判断角是第几象限角的常用方法为将写成（其中，在范围内）的形式，观察角的终边所在的象限即可.
【例2】（2021·福建省高三开学考试）已知点α=130°，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据象限角概念求解即可.
【解答过程】因为90°