高考数学二轮复习讲义练习专题3.6 幂函数-重难点题型检测（教师版）

这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题3.6 幂函数-重难点题型检测（教师版），共13页。试卷主要包含了的图像过点，则f，的图象经过点，则k+α＝等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春•无锡期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点(2，22)，则f（16）＝（ ）
A．−14B．14C．﹣4D．4
【解题思路】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f（x）的解析式，求出函数值即可．
【解答过程】解：令f（x）＝xα，
将点(2，22)代入函数的解析式得：
2α=22=2−12，解得α=−12，
故f（x）=x−12，f（16）=14，
故选：B．
2．（3分）（2022春•爱民区校级期末）已知幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，则k+α＝（ ）
A．12B．1C．32D．2
【解题思路】由幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，得k=14α=12，求出k＝1，α=−12，由此能求出结果．
【解答过程】解：幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，
∴k=14α=12，解得k＝1，α=−12，
∴k+α＝1−12=12．
故选：A．
3．（3分）（2021秋•新乡期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（ ）
A．2B．16C．12D．116
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求出函数的解析式，可得要求函数的值．
【解答过程】解：由题意得，3m2﹣11＝1，且m＜0，解得m＝﹣2，
所以f（x）＝x﹣2，故f（4）＝4﹣2=116，
故选：D．
4．（3分）（2021秋•渝中区校级期末）“m2+4m＝0”是“幂函数f(x)=(m3−m2−20m+1)xm−23为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，求得幂函数f（x）中m的值，解m2+4m＝0，求得m值，利用充要条件的定义即可判断答案．
【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m3−m2−20m+1)xm−23为偶函数，
∴m3﹣m2﹣20m+1＝1，且m−23为偶数，
求得m＝﹣4，
由m2+4m＝0，解得m＝0或﹣4，
故由“m2+4m＝0”不能推出“幂函数f(x)=(m3−m2−20m+1)xm−23为偶函数”，
由“幂函数f(x)=(m3−m2−20m+1)xm−23为偶函数”能够推出“m2+4m＝0”，
故“m2+4m＝0”是“幂函数f(x)=(m3−m2−20m+1)xm−23为偶函数”的必要不充分条件，
故选：B．
5．（3分）（2022春•凭祥市校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3
【解题思路】依据题意根据幂函数的性质列出关于实数m的方程即可求得实数m的值．
【解答过程】解：因为f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2是幂函数，
故m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或﹣1，
又因为幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以需要m﹣2＜0，
则m＝﹣1．
故选：A．
6．（3分）（2021春•金台区期末）已知a=243，b=323，c=2512，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【解题思路】利用幂函数的单调性直接求解．
【解答过程】解：∵a=243=423＞b=323，
c=2512=5＞22＞a=243，
∴b＜a＜c．
故选：A．
7．（3分）（2021•博野县校级开学）函数y＝x，y＝x2和y=1x的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a＞1a，那么a＞1；
③如果1a＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；
④如果a2＞1a＞a时，那么a＜﹣1．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①C．①②D．①③④
【解题思路】先求出三个函数图象的交点坐标，再结合图象判断即可．
【解答过程】解：易知函数y＝x，y＝x2和y=1x的图象交点坐标为（1，1），
函数y＝x与y=1x的图象还有一个交点（﹣1，﹣1），
当三个函数的图象依y=1x，y＝x，y＝x2次序呈上下关系时，0＜x＜1，故①正确，
当三个函数的图象依y＝x2，y＝x，y=1x次序呈上下关系时，﹣1＜x＜0或x＞1，故②错误，
由于三个函数的图象没有出现y=1x，y＝x2，y＝x次序的上下关系，故③错误，
当三个函数的图象依y＝x2，y=1x，y＝x次序呈上下关系时，x＜﹣1，故④正确，
所以正确的有①④，
故选：A．
8．（3分）（2021秋•镜湖区校级期中）已知幂函数y＝f（x）图象过点(2，22)，则关于此函数的性质下列说法错误的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递减
B．f（x）既不是奇函数也不是偶函数
C．f（x）的值域为[0，+∞）
D．f（x）图象与坐标轴没有交点
【解题思路】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题．
【解答过程】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），
∵幂函数y＝f（x）图象过点(2，22)，
∴2α=22，∴α=−12，
∴幂函数f（x）＝x−12，
∵−12＜0，
∴幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以选项A正确，
∵幂函数f（x）＝x−12=1x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，
∴幂函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，所以选项B正确，
∵x＞0，∴1x＞0，∴幂函数f（x）＝x−12=1x的值域为（0，+∞），所以选项C错误，
∵幂函数f（x）＝x−12=1x的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），所以f（x）的图象与坐标轴没有交点，所以选项D正确，
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•光明区期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣2）xm，则（ ）
A．m＝3B．定义域为[0，+∞）
C．（﹣1.5）m＜（﹣1.4）mD．f(2)=2
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【解答过程】解：对于幂函数f（x）＝（m﹣2）xm，应有m﹣2＝1，求得m＝3，可得f（x）＝x3，故A正确；
由于它的定义域为R，故B错误；
由于函数f（x）是R上的增函数，﹣1.5＜﹣1.4，∴（﹣1.5）3＜（﹣1.4）3，故C正确；
由于f(2)=8=22，故D错误，
故选：AC．
10．（4分）（2022秋•泉州期中）已知幂函数y＝xα的图象如图所示，则a值可能为（ ）
A．13B．12C．15D．3
【解题思路】根据幂函数的图象特征得出0＜α＜1，且为奇函数，求出得出a的可能取值．
【解答过程】解：根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内是单调增函数，且关于原点对称，
通过与直线y＝x的图象比较知，0＜α＜1，且幂函数为奇函数；
所以由选项知，a值可能为13和15．
故选：AC．
11．（4分）（2021秋•宝应县期中）已知幂函数f(x)=(m+95)xm，则下列结论正确的有（ ）
A．f(−32)=116
B．f（x）的定义域是R
C．f（x）是偶函数
D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]
【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．
【解答过程】解：幂函数f(x)=(m+95)xm，
∴m+95=1，
∴m=−45，
∴f（x）=x−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
故选项B错误，
∵f（﹣32）=(−32)−45=116，
∴选项A正确，
f（x）=x−45=15x4，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
又∵f（﹣x）=15(−x)4=15x4=f（x），
∴f（x）是偶函数，选项C正确，
∵f（x）=x−45，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，
不等式f（x﹣1）≥f（2）等价于f（|x﹣1|）≥f（2），
∴x−1≠0|x−1|≤2
解得：﹣1≤x＜1，或1＜x≤3，
故选项D正确，
故选：ACD．
12．（4分）（2021秋•峨山县校级期中）已知函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2＞0．若a，b∈R，且f（a）+f（b）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．a+b＞0，ab＜0B．a+b＜0，ab＞0C．a+b＜0，ab＜0D．a+b＞0，ab＞0
【解题思路】利用幂函数的性质推导出f（x）＝x3，从而求得 f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2），然后检验各个选项是否正确．
【解答过程】解：∵函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝2 或m＝﹣1．
对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴m2+m﹣3＞0，∴m＝2，f（x）＝x3．
若a，b∈R，且f（a）+f（b）＝a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2） 的值为负值．
若A成立，则 f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＞0，不满足题意；
若B成立，则 f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(a−b2)2+3b24]＜0，满足题意；
若C成立，则 f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＜0，满足题意；
若D成立，则 f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(a−b2)2+3b24]＞0，不满足题意，
故选：BC．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022•宣城开学）已知幂函数f（x）的图象过点（2，14），则f（7）＝ 17 ．
【解题思路】根据幂函数的一般解析式y＝xa，因为其过点（2，14），求出幂函数的解析式，从而求出f（7）．
【解答过程】解：∵幂函数的一般解析式y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，14），
∴14=2a，解得a＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
∴f（7）＝（7）﹣2=17，
故答案为：17．
14．（4分）（2021春•浙江月考）已知幂函数f（x）＝xα满足f （3）=33，则该幂函数的定义域为 （0，+∞） ．
【解题思路】根据幂函数f（x）＝xα满足f （3）=33，可求出α，然后根据偶次方根被开发数大于等于0，分式分母不等于0，求法f（x）的定义域．
【解答过程】解：因为幂函数f（x）＝xα满足f （3）=33，
所以f （3）＝3α=33=3−12，解得α=−12，
所以f（x）=x−12=1x，该幂函数的定义域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
15．（4分）（2022秋•辽宁月考）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=(m2−m−1)xm2−2m−3为减函数，则m＝ 2 ．
【解题思路】利用幂函数的定义与性质列出不等式组，求解即可．
【解答过程】解：∵当x∈（0，+∞）时，幂函数y=(m2−m−1)xm2−2m−3为减函数，
∴m2−m−1=1m2−2m−3＜0，∴m＝2，
故答案为：2．
16．（4分）（2021秋•宛城区校级月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•xm+1为奇函数，则不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0的解集为 （1，+∞） ．
【解题思路】根据已知条件和幂函数的定义，指数为奇数，系数为1，列方程可求得m的值，再根据f（x）的单调性与奇偶性，脱去f，求得不等式的解集即可．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•xm+1为奇函数，
∴m2﹣3m+3＝1且m+1为奇数；解得m＝2；
∴f（x）＝x3，且f（x）在R上为增函数；
由不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x）；
不等式⇔f（2x﹣3）＞f（﹣x）；
不等式⇔2x﹣3＞﹣x；∴x＞1．
所以不等式的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春•玉林月考）已知幂函数y＝（m2﹣m﹣1）xm2−2m−3，求此幂函数的解析式，并求出其定义域．
【解题思路】首先运用幂函数的定义求出m的值，在根据幂函数求定义域．
【解答过程】解：由幂函数定义可得m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2或m＝﹣1．
当m＝2时，幂函数为y＝x﹣3，且x≠0，
当m＝﹣1时，幂函数为y＝x0，且x≠0，
故定义域都是{x|x≠0}．
18．（6分）（2021秋•黄浦区校级期中）已知幂函数y＝f（x）经过点（4，18）．
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）若f（a+2）＜f（3﹣2a），求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得它的定义域．
（2）由题意利用幂函数的定义域和单调性，求得a的范围．
【解答过程】解：（1）设幂函数y＝f（x）＝xα，∵它的经过点（4，18），
∴4α=18，∴α=−32，∴f（x）=x−32=1x3，定义域为（0，+∞）．
（2）由于函数f（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，
故由 f（a+2）＜f（3﹣2a），可得 a+2＞3−2a3−2a＞0，
解得13＜a＜32，故不等式的解集为（13，32）．
19．（8分）（2021秋•南关区校级期中）已知函数y=x23，
（1）求定义域；
（2）判断奇偶性；
（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．
【解题思路】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性．
【解答过程】解：（1）∵函数y=x23=3x2，∴函数的定义域为R．
（2）∵f（﹣x）=3(−x)2=3x2=f(x)，∴函数y=x23=3x2是偶函数．
（3）∵函数y=x23=3x2是偶函数．
∴函数图象关于y轴对称，且（﹣∞，0]为减函数，[0，+∞）为增函数，
对应的图象为：
20．（8分）（2021秋•荔湾区校级月考）已知幂函数f（x）=x．
（1）试求函数f（1x−1）的定义域；
（2）若函数g（x）＝k+f（x+2）在区间[a，b]（a＜b）上有相同的定义域和值域，求k的取值范围．
【解题思路】（1）先求出函数f（1x−1）的解析式，可得1x−1≥0，由此求得函数f（1x−1）的定义域．
（2）由题意可得 k+a+2=a，且 k+b+2=b，故方程 k+x+2=x有2个不同的实数解，即 x+2=x﹣k有2个不同的实数解，分别画出曲线y=x+2 和曲线y＝x﹣k的图象，数形结合可得结论．
【解答过程】解：（1）对于幂函数f（x）=x，可得 函数f（1x−1）=1x−1，
∴1x−1≥0，求得0＜x≤1，故函数f（1x−1）的定义域为（0，1]．
（2）∵函数g（x）＝k+f（x+2）＝k+x+2 在区间[a，b]（a＜b）上单调递增，
且有相同的定义域和值域，
∴k+a+2=a，且 k+b+2=b，故方程 k+x+2=x有2个不同的实数解，
即 x+2=x﹣k有2个不同的实数解．
即 曲线y=x+2（图中红色曲线） 和曲线y＝x﹣k（图中蓝色曲线）有2个不同的交点．
当 x+2=x﹣k有唯一实数解时，求得k=−94．
当直线y＝x﹣k经过点（﹣2，0）时，求得k＝﹣2，满足曲线y=x+2 和曲线y＝x﹣k有2个不同的交点．
综上可得，−94＜k≤﹣2．
21．（8分）（2021秋•辽宁月考）已知幂函数f(x)=(m2+2m−2)xm2−7(m∈Z)的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值；
（2）∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0，由此求得m的值．
（2）由题意，x∈[1，2]时，a＞﹣2(1x)2+3（1x） 恒成立．换元，利用二次函数的性质求得﹣2(1x)2+3（1x） 的最大值，可得a的范围．
【解答过程】解：（1）∵幂函数f(x)=(m2+2m−2)xm2−7(m∈Z)的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增，
∴m2+2m﹣2＝1，且m2﹣7＞0，
求得m＝﹣3，f（x）＝x2．
（2）∵∀x∈[1，2]，不等式af（x）﹣3x+2＞0恒成立，即a＞3x−2x2 恒成立，即a＞﹣2(1x)2+3（1x） 恒成立．
令t=1x∈[12，1]，则a＞h（t）＝﹣2t2+3t＝﹣2(t−34)2+98，
故当t=34时，h（t）取得最大值为98，∴a＞98．
22．（8分）（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知幂函数f(x)=(m2+m2−12)xm，且在定义域内单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝[f（x）]2+kf（x）﹣1，x∈[12，1]，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得结论．
（2）先求出g（x）的解析式，由题意利用二次函数的性质，分类讨论，求得k的值，可得结论．
【解答过程】（1）∵幂函数f(x)=(m2+m2−12)xm，且在定义域内单调递增，
∴m2+m2−12=1，且m＞0，求得m＝1，
故f（x）＝x．
（2）∵函数g（x）＝[f（x）]2+kf（x）﹣1＝x2+kx﹣1，它的图象的对称轴方程为x=−k2，x∈[12，1]，
若−k2＜12，即k＞﹣1时，g（x）在[12，1]内单调递增，根据它的最小值为g（12）=14+k2−1＝0，求得k=32．
若12≤−k2≤1，即﹣2≤k≤﹣1时，g（x）的对称轴x=−k2在[12，1]内，根据它的最小值为g（−k2）=k24−k22−1＝0，求得k∈∅．
若−k2＞1，即k＜﹣2时，g（x）在[12，1]内单调递减，根据它的最小值为g（1）＝1+k﹣1＝0，求得k＝0（舍去）．
综上，存在实数k=32，使得g（x）的最小值为0．