高考数学二轮复习讲义练习专题5.10 三角恒等变换（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题5.10 三角恒等变换（重难点题型检测）（教师版），共13页。
1．（3分）（2022·贵州六盘水·高一期末）若θ∈0,π2，sin(π−θ)=45，则sin2θ=（ ）
A．35B．1225C．255D．2425
【解题思路】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【解答过程】sin(π−θ)=sinθ=45，
由于θ∈0,π2，所以csθ=1−sin2θ=35，
所以sin2θ=2sinθcsθ=2×45×35=2425.
故选：D.
2．（3分）（2022·广东肇庆·高三阶段练习）2sin2125°−2cs15°cs55°−12sin50°的值为（ ）
A．−12B．12C．1D．2
【解题思路】根据正弦的二倍角公式，结合诱导公式，以及余弦的和差角公式，化简即可求得结果.
【解答过程】2sin2125°−2cs15°cs55°−12sin50°=2×1−cs250°2−2cs15°cs55°−12sin50°
=−cs180°+70°−2cs15°cs55°2sin50°=cs70°−2cs15°cs55°2sin50°
=cs15°+55°−2cs15°cs55°2sin50°=cs15°cs55°−sin15°sin55°−2cs15°cs55°2sin50°
=−cs15°cs55°−sin15°sin55°2sin50°=−cs55°−15°2sin50°=−cs40°2sin50°=−12.
故选：A.
3．（3分）（2022·黑龙江·高三期中）已知csα−π3=13，则sin2α−π6的值为（ ）
A．−79B．−13C．13D．79
【解题思路】利用二倍角的余弦公式求得cs2α−2π3，再根据诱导公式即可得解.
【解答过程】解：因为csα−π3=13，所以cs2α−π3=2cs2α−π3−1=−79，
即cs2α−2π3=cs2α−π6−π2=−79，
所以sin2α−π6=−79.
故选：A.
4．（3分）（2022·陕西·高一期末）下列各式中，值为12的是（ ）
A．sin15°cs15°B．cs2π12−sin2π12
C．cs42°sin12°−sin42°cs12°D．tan22.5°1−tan222.5°
【解题思路】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.
【解答过程】sin15°cs15°=12sin30°=14，
cs2π12−sin2π12=csπ6=32，
cs42°sin12°−sin42°cs12°=sin12°−42°=−sin30°=−12，
tan22.5°1−tan222.5°=12tan45°=12，
故选：D.
5．（3分）（2022·山东·高三期中）已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α=45，csα+β=−210，则β−α=（ ）
A．34πB．π4C．54πD．π2
【解题思路】求出β−α的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出sinβ−α的值，即可得解.
【解答过程】因为π4≤α≤π，则π2≤2α≤2π，因为sin2α=45，则π2≤2α≤π，可得π4≤α≤π2，
因为π≤β≤3π2，则π2≤β−α≤5π4，5π4≤α+β≤2π，
所以，cs2α=−1−sin22α=−35，sinα+β=−1−cs2α+β=−7210，
所以，sinβ−α=sinα+β−2α=sinα+βcs2α−csα+βsin2α
=−7210×−35−−210×45=22，
所以，β−α=3π4.
故选：A.
6．（3分）（2022·辽宁·高一阶段练习）若在△ABC中，sin(A+C)⋅sin(A+B)=cs2A2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【解题思路】利用诱导公式及二倍角公式得到2sinB⋅sinC=1+csA，再由两角和差的余弦公式得到csB−C=1，即可得解；
【解答过程】解：因为sin(A+C)⋅sin(A+B)=cs2A2，
即sinπ−B⋅sinπ−C=1+csA2
所以sinB⋅sinC=1+csA2，
即2sinB⋅sinC=1+csA，即2sinB⋅sinC=1−csB+C，
所以2sinB⋅sinC=1−csBcsC+sinBsinC，
所以csBcsC+sinB⋅sinC=1，即csB−C=1，
因为B,C∈0,π，所以B−C∈−π,π，
所以B−C=0，即B=C，所以△ABC为等腰三角形；
故选：C.
7．（3分）（2023·云南·高三阶段练习）已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=π2，则（ ）
A．若csα+sinα=1，则tanα=1
B．若tanα=2，则tanβ+γ=55
C．tanα、tanβ可能是方程x2−6x+7=0的两根
D．tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1
【解题思路】利用诱导公式、辅助角公式以及三角恒等变换即可判断.
【解答过程】对于A,根据辅助角公式得2sinα+π4=1，
所以sinα+π4=22，
因为α∈0,π2，所以α+π4∈π4,3π4，
所以sinα+π4=22无解，故A错误;
对于B, tanβ+γ=tanπ2−α=sinπ2−αcsπ2−α=csαsinα=1tanα=12，
故B错误；
对于C，因为tanα、tanβ可能是方程x2−6x+7=0的两根，
所以tanα+tanβ=6,tanα⋅tanβ=7，
则有tanα+β=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−1，
因为α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=π2，
所以α+β∈0,π2，所以tanα+β>0，故C错误；
对于D,由B选项推导过程可知，tanβ+γ=1tanα，
即tanβ+tanγ1−tanβ⋅tanγ=1tanα，整理得tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1.
故D正确.
故选:D.
8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点Q'处，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QQ'=b（如图3），则下列等式中成立的是（ ）
A．tanα=3b2a+bB．tanα=3aa+2b
C．tan2α=3b2a+bD．tan2α=3aa+2b
【解题思路】过点M作MD⊥PQ，则DQ'=12a+b，MD=32a，∠MQ'D=60°−2α，所以tan60°−2α=3aa+2b，即可求解tan2α．
【解答过程】过点M作MD⊥PQ，因为△PMQ是正三角形．PQ=a，QQ'=b，
则DQ'=12a+b，MD=32a，∠MQ'D=60°−2α，
所以tan∠MQ'D=tan60°−2α=MDDQ'=3a2a2+b=3aa+2b，
则tan60°−tan2α1+tan60°⋅tan2α=3−tan2α1+3⋅tan2α=3aa+2b，解得tan2α=3b2a+b，
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·河北·高三阶段练习）已知tanα−β=−17，tanα+β=−1，则tanβ=（ ）
A．−13B．13C．−3D．3
【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求tan2β，再由二倍角公式求tanβ.
【解答过程】因为tan2β=tanα+β−α−β=tanα+β−tanα−β1+tanα+βtanα−β，又tanα−β=−17，tanα+β=−1，所以tan2β=−1+171+17=−34，
因为tan2β=2tanβ1−tan2β，所以2tanβ1−tan2β=−34，所以3tan2β−8tanβ−3=0，
解得tanβ=−13或3，
故选：AD.
10．（4分）（2022·广东湛江·高一期末）下列各式中，值为12的是（ ）
A．1−2sin215°B．2sin15°cs15°
C．3−tan15°2+23tan15°D．2cs260°−1
【解题思路】根据二倍角的正弦公式、余弦公式，两角差的正切公式，逐一化简计算，即可得答案.
【解答过程】对于A：1−2sin215°=cs2×15°=cs30°=32，故A错误
对于B：2sin15°cs15°=sin2×15°=sin30°=12，故B正确
对于C：3−tan15°2+23tan15°=tan60°−tan15°21+tan60°tan15°=12tan(60°−15°)=12tan45°=12，故C正确；
对于D：2cs260°−1=cs2×60°=cs120°=−12，故D错误；
故选：BC.
11．（4分）（2022·江西·高二开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．tan15°+1tan15°−1=−3B．cs422.5°−sin422.5°=22
C．sin15°sin45°sin75°=28D．tan37°+tan23°+3tan37°tan23°=1
【解题思路】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.
【解答过程】因为tan15°+1tan15°−1=−tan15°+tan45°1−tan15°tan45°=−tan60°=−3，故A正确；
cs422.5°−sin422.5°=cs222.5°+sin222.5°cs222.5°−sin222.5°=cs45°=22，故B正确；
sin15°sin45°sin75°=sin15°cs15°sin45°=12sin30°sin45°=28，故C正确；
因为tan60°=tan37°+23°=tan37°+tan23°1−tan37°tan23°=3，
所以tan37°+tan23°+3tan37°tan23°=3，故D错误．
故选：ABC.
12．（4分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数fx=2sin2x+5π12+2sin2x+π12，则下列命题正确的是（ ）
A．fx的图象关于直线x=5π8对称B．fx的图象关于点5π8,0对称
C．fx在−5π8,0上单调递减D．对任意的m，fx在m,m+2上不单调
【解题思路】根据三角恒等变换公式化简可得fx=23sin2x+π4，再根据正弦函数的性质分别求解对称轴、对称点、单调区间再逐个判断即可
【解答过程】fx=2sin2x+π12+π3+2sin2x+π12=sin2x+π12+3cs2x+π12+2sin2x+π12 =3sin2x+π12+3cs2x+π12=23sin2x+π4．
对A，令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2+π8，k∈Z，所以fx的图象关于直线x=5π8对称，则A正确；
对B，令2x+π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π8，k∈Z，当kπ2−π8=5π8时，k=32∉Z，则B错误；
对C，令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z所以fx的单调递减区间是kπ+π8,kπ+5π8k∈Z，则C错误；
对D，因为fx的最小正周期T=2π2=π，所以T2=π20，且sinβ=1+csβ，②tan(2α+β)=−1023两个条件中的一个，则tan(α+β)的一个值可以为 −14或6 .
【解题思路】若β满足的条件①利用sinβ=1+csβ及sinβ>0进行转化解出csβ，sinβ，利用两角和的正切公式求解；若β满足的条件②配凑角α+β=(2α+β)−α，然后利用公式计算即可
【解答过程】若β满足条件①，因为sinβ=1+csβ，所以(1+csβ)2+cs2β=1+2csβ+2cs2β=1，
解得csβ=0或csβ=−1，
则sinβ=1或sinβ=0(舍去)，
则β=π2+2kπ，k∈Z，
故tan(α+β)=tan(α+π2+2kπ)=sin(α+π2)cs(α+π2)=−1tanα=−14.
若β满足条件②，
则tan(α+β)=tan[(2α+β)−α]=−1023−41+(−1023)×4=6.
故答案为：−14或6.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：
(1)sin7°+cs15°sin8°cs7°−sin15°sin8°；
(2)2sin50°+sin10°1+3tan10°×2sin280°；
(3)sinα+βcsα−12sin2α+β−sinβ.
【解题思路】根据三角恒等变换公式或诱导公式化简即可.
【解答过程】(1)
原式=sin15°−8°+cs15°sin8°cs15°−8°−sin15°sin8° =sin15°cs8°−cs15°sin8°+cs15°sin8°cs15°cs8°+sin15°sin8°−sin15°sin8°
=tan15° =tan45°−30°=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−331+33 =3−33+3=2−3.
(2)
原式=2sin50°+sin10°×cs10°+3sin10°cs10°×2sin80°
=2sin50°cs10°+2sin10°cs50°cs10°×2cs10°
=22sin50°cs10°+sin10°cs50°
=22sin50°+10°=22×32=6.
(3)
原式=sinα+βcsα−12sinα+α+β−sinα+β−α
=sinα+βcsα−122sinαcsα+β
=sinα+βcsα−csα+βsinα
=sinα+β−α=sinβ.
18．（6分）求证：sinπ4+θsinπ4−θ+csπ4+θcsπ4−θ=2cs2θ．
【解题思路】逆用两角和的正弦公式及诱导公式即可得证.
【解答过程】左边=sinπ4+θsinπ4−θ+csπ4+θcsπ4−θ
=sinπ4+θcsπ4−θ+csπ4+θsinπ4−θsinπ4−θcsπ4−θ
=sin(π4+θ)+(π4−θ)sin(π4−θ)⋅cs(π4−θ)
=2sinπ2sin(π2−2θ)
=2cs2θ，
∴左边=右边，
即等式成立.
19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知tanπ4+α=12．
(1)求tanα的值；
(2)求sin2a−cs2α1+cs2α的值．
【解题思路】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；
（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.
【解答过程】（1）由题意得tanπ4+α=tanπ4+tanα1−tanπ4tanα=1+tanα1−tanα=12，
解得tanα=−13.
（2）由题意得sin2α−cs2α1+cs2α=2sinαcsα−cs2α1+2cs2α−1=2sinαcsα−cs2α2cs2α，
分子分母同除cs2α得2tanα−12=−56.
故原式=−56.
20．（8分）（2022·山东·高三期中）已知0