2024年湖南省邵阳市绥宁县中考二模数学试题

这是一份2024年湖南省邵阳市绥宁县中考二模数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题.，填空题.等内容，欢迎下载使用。
1．设 x是用字母表示的有理数，则下列各式中一定大于零的是 ( )
A．x + 2 B．2x C． x D．x2 + 2
2 .下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3．下列计算正确的是 ( )
A．2m + 3n = 5mn B．一a2b + ba2 = 0 C．x2 + 2x2 = 3x4 D．3(a +b) = 3a +b
4．4 月 8 日，为期三天的邵东第八届五金机电博览会圆满落幕，博览会参展人数达 12 万余人次，现场
交易额 32 亿元，签约供销项目 133 亿元，总成交额共计 165 亿元，创历史新高。165 亿元用科学记数法 可以表示为 ( )
A．0.165×1011 元 B．1.65×1010 元 C．1.65×109 元 D．16.5×109 元
5．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点 C在
FD的延长线上，点 B在 ED上，AB∥CF，∠F= ∠ACB＝90 ° , ∠E＝45 ° ,
∠A＝60 ° , 则∠CBD= ( )
A．10 ° B．15 ° C．20 ° D．25 °
年龄(单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
4
3
2
2
6.某中学篮球队 12 名队员的年龄情况如下：则 这个队队员年龄的众数和中位数分别是
( )
A．15，16 B．15，15
C．15，15.5 D．16，15
7．如图，已知上AOB ，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 C，D两点，分别以 点 C，D为圆心，大于CD 长为半径作圆弧，两条圆弧交于上AOB 内一点 P，连接OP ，过点 P作直线PE Ⅱ OA ，
交 OB于点 E，过点 P作直线PF ∥ OB ，交OA 于点 F．若上AOB = 60O ，OP = 6cm ，则四边形PFOE 的面积是 ( )
A．123cm2 B．6 3cm2 C．3 3cm2 D．2 3cm2
8 . 如图，直径为 10 的⊙A经过点 C(0，5)和点 O(0，0)，B是 y轴右侧⊙A优弧上一点， 则∠OBC的余弦值为 ( )
3
4
3
1
2
4
C.
B.
D.
A． \
2
5
9. 甲、乙两地相距120km ，一辆汽车上午9 : 00 从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提 高了30km / h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y (km) 与时间x (h ) 之间的函数关系如图所示，该 车到达乙地的时间是当天上午 ( )
A．10 : 35 B．10 : 40 C．10 : 45 D．10 : 50
10．“化积为方 ”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形， 这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形ABCD 中(AB > AD)
以AD 为边作正方形ADEF ，在FE 的延长线上取一点G ，使得∠DGC=90， 过点D 作DH 丄 DG 交AB 于点H ，过点H 作HK 丄 GC 于点K .
若BF = 2FH = 2 ，则 AH 为 ( )
2 + 3 C.
B.
D.
3 2
A．4
二、填空题（共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）.
有意义，则实数a 的取值范围是
.
11. 式子
3x2- 12=
.
12.因式分解
.
13.已知一元二次方程 x2+7x﹣5=0 的两根为 x1 、x2 ，则 x12+x1x2+x22=
的解为
.
14.分式方程
cm2（结果保留 π )
15.若圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，则它的侧面展开图的面积为
个.
16 . 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 6 个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到 白球的频率约为30% ，估计袋中黑球有
的图象
17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，反比例函数
.
经过点 C（3，m）．则点 B 的坐标是
（第 17 题图）
（第 18 题图）
18.如图，一块含 45 ° 的三角板的一个顶点 A与矩形 ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边 BC上， 另一顶点 F恰好落在边 CD的中点处，若BC = 12 ，则 AB的长为 .
三、解答题(共 8 个小题，共 66 分）.
19.（6 分） 计算：
20.（6 分）先化简，再求值. ( − ) ÷ ,其中 x=3.
21.（8 分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用 A，B，C，D表示， 并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
A
请根据统计图中的信息解答以下问题；
(1) 本次抽取的学生共有 人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是 ° , 并把条形统计
图补充完整；
(2)若该校共有学生 2800 人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人.
(3) A等级的 4 名学生中有 3 名女生和 1 名男生，现在需要从这 4 人中随机抽取 2 人参加电视台举办的 “ 中学生书法比赛 ”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的 2 人恰好是 1 名男生 1 名女生的概率.
22. （8 分）某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表，
用 15000 元可购进真丝衬衣 50 件和真丝围巾 25 件．（利润= 售价- 进价）
(1) 求真丝衬衣进价 a的值.
(2) 若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共 300 件，据市场销售分析，
真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的 2 倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
23.（9 分）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点 A、B转动， 测量知AB = 10cm ，BC = 8cm ．当 AB，BC转动到7BAE = 70O ，7ABC = 65O 时，
求点 C到直线 AE的距离．（精确到 0．1cm，参考数据：sin 70O ≈ 0.94 ，cs 70O ≈ 0.34 ， ≈ 1.41 ）
24.（9 分）如图，AB 是⊙O 的直径，PD 与⊙O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，DE⊥PO 交 PO 的延 长线于点 E,连接 PB， ∠EDB=∠EPB.
（1） 求证：PB 是⊙O 的切线. （2）若 PB=6，DB=8，求⊙O 的半径.
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
25．（10 分）【基础巩固】 (1)如图 1，在 △ABC 中，D为BC 上一点，连结AD ，E为AD 上一点，连结CE ， 若7BAD = 7ACE，CD = CE ，求证： △ ABD ∽△CAE .
【尝试应用】 (2)如图 2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，E为OC 上一点，连结 BE，7CBE = 7DCO，BE = DO ，若BD = 12，OE = 5 ，求AC 的长.
【拓展提升】 (3)如图 3，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，E为BC 中点，F为DC 上一点，连 结OE、AF，7AEO = 7CAF ，延长 AF 交 BC 的延长线于点 ，AC = 6 ，求菱形ABCD 的边长.
G
26．（10 分）如图，已知二次函数 y＝x2+bx+c经过 A，B两点，BC⊥x轴于点 C，且点 A ( ﹣ 1，0）， C（4，0），AC＝BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E是线段 AB上一动点（不与 A，B重合），过点E作 x轴的垂线，交抛物线于点 F。当线段 EF 的长度最大时，求点E的坐标及△ABF 的面积；
（3）点 P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在， 求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
数学试卷答案
一、 选择题。
1 、D 2 、A 3 、B 4 、B 5 、B 6 、A 7 、B 8 、C 9 、B 10 、C
二、填空题
11 、a ≥ − 1 且 a ≠ 2 12 、3x(x+2)(x-2) 13 、54 14 、x=-4
15 、15π 16 、14 17 、（8 ，4） 18 、 8
三、解答题
19 、1 − 2√3 20 、化简后的结果为 ， 最后的值为
21 、(1) 40 36 条形统计图略 （2） 280
（3）图略，
22 、(1) 依题意得:50a+80x 25=15000 ，解得: a=260.答:a 的值为 260.
(2)设购进真丝衬衣 x 件，则购进真丝围巾(300-x)件， 依题意得:300-x≥2x ，解得:x≤100.
设两种商品全部售出后获得的总利润为 w 元，则
w =(300-260)x+(100-80) (300 -x) = 20x+6000 . ∵20>0 ，..w 随 x 的增大而增大，
∴当 x=100 时，w 取得最大值，最大值= 20x100+6000=8000 ，此时 300-x=300 -100=200.
答:当购进真丝衬衣 100 件，真丝围巾 200 件时，才能使本次销售获得的利润最大， 最大利润是 8000 元.
22 、解:过点 B 作 BM 丄 AE，垂足为 M，过点 C 作 CN 丄 AE，垂足为 N，过点 C
作 CD⊥BM ，垂足为 D.
,
∴ ∠AMB=∠BME=∠CNM=∠CDM=∠CDB=90 ° ∴四边形 MNCD 是矩形， ∴DM=CN，
在 Rt△ABM 中， ∠BAE=70 ° , AB=10cm, ∴ ∠ABM=90 °-∠BAE=20 ° ,
BM=AB ·sin70 。≈10x0.94=9.4 (cm) ，“ 上ABC=65 。，
::上CBD=上ABC-上ABM=45 。，:上BCD=90 。-上CBD=45。 在 Rt△BCD 中，BC=8cm，
:BD=BC · sin45 。≈8x =5.64 (cm)，
. :.DM=BM-BD=9.4-5.64≈3.8 (cm) ，. :.DM=CN=3.8cm, :点 C 到 AE 的距离为 3.8cm.
24 、(1)证明:“在△DEO 和△PBO 中，上EDB=EPB ，上DOE=上POB, :上OBP=上E=90 。,
“OB 为圆的半径，. :.PB 为圆 O 的切线;
(2)解:在 Rt△PBD 中，PB=6 ，DB=8， 根据勾股定理得:PD= 62 + 82 =10，
“PD 与 PB 都为圆的切线，::PC=PB=6, :DC=PD-PC=10-6=4，
在 Rt△CDO 中，设 OC=r ，则有 DO=8-r, 根据勾股定理得:(8-r)2=r+42，
解得:r=3,
则圆的半径为 3.
25 、(1)证明:“CD=CE ，::. 上CDE=上CED，
:180 。-上CDE=180 。-上CED, :上ADB=上CEA,又“上BAD=上ACE, :△ABD ∽ △CAE.
(2) 解:“四边形 ABCD 是平行四边形， :BO=DO=BD=x12=6,
:BE=DO=BO=6. :.BEO=上BOE,
:180 。-上BEO=180 。-上BOE,:. 上BEC=上COD.
又∵∠CBE=∠DCO, ∴ △BEC ∽ △COD， 设 OC=x ，则 CE=OC-OE=x-5，
∴ = , ∴x1=9 ，x2=-4(舍去) ， ∴OC=9, ∴AC=2OC=18;
∴设 DF=5t ，FC=3t ，则 CD=8t ， ∵四边形 ABCD 是菱形，
. ∴AB=AD=BC=CD=8t ，AD//BC， AO=AC=x6=3, AC 丄 BD,
∴ △CGF ∽ △DAF，
即
在 Rt△BOC 中， ∵E 为 BC 的中点， : OE=CE=BC=4t .
∴ ∠COE=∠ACE ， ∴ ∠AOE=∠ACG，
又∵∠AEO=∠CAF ， ∴△AOE ∽ △GCA
即 ∴t1= ，t2=- (舍去)，
. ∴ AB= AD=BC=CD= 8t= 2 15, 即菱形 ABCD 的边长为 2 15.
26 、(1)∵点 A(-1,0) ，C(4,0) ， ∴AC=5 ，OC =4 ， ∴AC=BC=5, ∴B(4,5), 把 A(-1,0)和 B(4,5)代入二次函数 y =x² +bx + c 中得
1 − b + c = 0 16 + 4b + c = 5
解得:
∴二次函数的解析式为 y=x2-2x-3;
（2）直线 AB 经过点 A(-1,0) ，B(4,5) ，设直线 AB 的解析式为 y = kx+b，
解得 ∴直线 AB 的解析式为:y=x+1，
又∵二次函数 y=x2-2x-3,
∴设点 E(t ，t+1) ，则 F(t ，t2- 2t-3), :.EF =
∴ 当 t=时 , EF 的最大值为 。点 E 的坐标为 ( , )
（3） 存在，
y=x2-2x-3=(x-1)² -4, 设 P(1,m) ，分三种情况:
①以点 B 为直角顶点时，由勾股定理得: PB² + AB² = pA², .(4 -1)² + (m - 5)² +(4+1)² + 5² = (1+1)²+m²
解得: m=8, ∴ P(1,8);
②以点 A 为直角顶点时，由勾股定理得: PA² + AB² = pB² , ∴.(1+1)²+m² +(4+1)² + 52= (4 -1)² +( m-5)2
解得:m=-2, ∴P(1,-2);
③以点 P 为直角顶点时，由勾股定理得: PB² + pA² = BA², ∴(1+1)² +m² +(4-1)² + (m - 5)² = (4 +1)²+52
解得: m=6 或-1 ， ∴ P(1,6)或(1,-1);
综上，点 P 的坐标为(1,8)或(1,-2)或(1,6)或(1,-1).