甘肃省平凉市崆峒区铁路中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各式一定是二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义，逐个分析即可.
【详解】A.,被开方数是负数，不是二次根式；
B.，根指数是3，不是二次根式；
C.，是二次根式；
D.，被开方数有可能是负数，不一定是二次根式.
故选C
【点睛】理解二次根式的定义.
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减运算法则分别计算，再作判断．
【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；
B、，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；
C、，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、是最简二次根式，故本选项正确；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
4. 能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、，，则四边形平行四边形；故本选项正确，符合题意；
C、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
5. 已知，那么的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB＝ ，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴ CD＝ ，
则点C到AB的距离是．
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定斜边AB的长．
7. 如图，字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A. 4B. 16C. 36D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积．
【详解】解：正方形的面积等于64，
即，
正方形面积为100，
，
又为直角三角形，根据勾股定理得：
，
，
则正方形的面积为36．
故选C．
【点睛】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
8. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
【详解】解：图中直角三角形的两直角边为，，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么的值是：，
故选：D．
9. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A. 42B. 32C. 42或32D. 37或33
【答案】C
【解析】
【分析】存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部
【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形
∵AD高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.
10. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A. 12B. 24C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，连接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°．
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠BEF=∠DEF=60°．
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°．
在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2．
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．
故选D．
二、填空题（每题4分，共32分）
11. 化简：=____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】∵π>3，
∴π−3>0；
∴=π−3.
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质.
12. 已知是整数，则正整数的最小值是______.
【答案】6
【解析】
【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】∵，且是整数，
∴2是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为6．
【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
13. 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______．
【答案】13或
【解析】
【分析】分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
【详解】解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为=13；
②若12为斜边，5和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为=，
则第三边长为13或.
故答案为13或．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14. 如图，在中，与相交于点O，E是边的中点，，则的长是______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分的性质以及三角形中位线定理进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵E是边的中点，
∴
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，得出是解题关键．
15. 如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____．

【答案】##16米
【解析】
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，

由题意得，
在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）．
所以大树的高度是（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
16. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，则AB=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
17. 若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是_____．
【答案】6
【解析】
【详解】试题解析：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴3a-4=a+8，
解得：a=6
故答案为6
18. 如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
【答案】2
【解析】
【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t求解．
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
三、解答题
19. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再合并计算；
（2）先算乘法，化简，再计算除法．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先算负指数幂，零指数幂，计算绝对值，再合并计算．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负指数幂，零指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．
21. 已知：，，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】由与的值求出与，所求式子提取公因式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：提公因式，二次根式的混合运算，熟练掌握公式是解本题的关键．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．先化简，再把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
23. 若的三边a、b、c满足c，则这个三角形最长边上的高是多少？
【答案】2.4
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的逆运用，先把原式整理得，得证是直角三角形，通过等面积法列式计算即可作答．
【详解】解：
∴
即
∴
∴
∵
∴三角形为直角三角形．
∵高
∴则这个三角形最长边上的高是．
24. 如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】（1）这个梯子的顶端离地面有24米
（2）梯子底端在水平方向滑动8米
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；
【小问1详解】
解：在中，，
则
即
答：这个梯子的顶端离地面有24米．
【小问2详解】
∵则
在中，
，
∴，
则
答：梯子底端在水平方向滑动8米．
25. 如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．求证：四边形CEDF是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD＝BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF＝CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形．
【详解】解：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．
∵F是AD的中点，
∴DF＝．
又∵CE＝BC，
∴DF＝CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
26. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．
【答案】∠C=50°，∠B=130°．
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠DAE=50°，再根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等，就可求得∠C和∠B的度数．
【详解】∵∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°．
∴在平行四边形ABCD中，∠C＝∠BAD＝50°，∠B＝180°－∠C＝130°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，属于基础题目，熟练掌握平行四边形的性质是关键．
27. 如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理．连接，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形
【详解】证明：连接，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
， ，
同理可得，， ，
，，
四边形是平行四边形．
28. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【答案】（1）BD=CD．理由见解析；（2）AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
【详解】（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．