解析：福建省泉州实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

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满分150分时间：120分钟
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（ ）
A. ﹣B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用零大于一切负数来比较即可．
详解】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则、准确进行判断．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原计算错误；
故选：C．
3. 我国年水资源总量约为27500亿立方米，27500用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：雕刻印章的俯视图为
．
故选：D．
5. 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点于点，则以下结论错误的是（ ）
A. 是等边三角形B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明；利用等边三角形的性质结合三角形面积可判定选项D．
【详解】解：A．∵，，
∴是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
B．由作图知：射线是的平分线，且，，
∴，故选项B成立，不符合题意；
C．由作图知：，又，
∴(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
D．设与交于点G，由题意可得，但无法证明，
∴无法确定，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定、菱形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6. 如图，小明同学在折幸运星时，将一张长方形的纸条折成一个正五边形，则图中的度数为（ ）

A. 72°B. 80°C. 90°D. 108°
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正五边形的每个内角度数，再根据邻补角的性质即可求解.
【详解】正五边形的每个内角度数为，
∴
故选A.
【点睛】此题主要考查正五边形的内角，解题的关键是熟知正多边形的内角求解公式.
7. 小亮每天坚持体育锻炼，他记录了自己一周内每天锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A. 平均数为70分钟B. 众数为67分钟C. 中位数为67分钟D. 方差为0
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：A．平均数为（分钟），故A错误；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故B正确；
C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故C错误；
D．方差为：
，故D错误．
故选：B．
8. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ）
A. 82﹢x2 = (x﹣3)2B. 82﹢(x+3)2= x2
C. 82﹢(x﹣3)2= x2D. x2﹢(x﹣3)2= 82
【答案】C
【解析】
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
9. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
10. 如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质；由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为，求出即可．
【详解】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，

由的几何意义得，，
∴，
∵，
∴，
∵点D的坐标是，
∴，，
∴，
∵正方形的面积为4，
∴， 而，
∴．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 化简：=___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的定义可以得到解答．
【详解】解：原式= -5 ．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查绝对值的意义，准确理解绝对值的定义是解题关键．
12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，
，
去分母，得，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
13. 计算：_________．
【答案】2
【解析】
【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分．
【详解】解：
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
14. 如图，在中，平分若则____．
【答案】1
【解析】
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
15. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【解析】
【分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
16. 已知上有和两点．若点A，B都在直线的上方，且，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】解：把点代入得：，
把点代入得：，
∵点A，B都在直线的上方，且，
∴，整理得：，
令，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或0，
画出的函数图象如图所示，
由图可知：当时，，
当时，，
综上：m的取值范围．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式组，能根据函数图象写出不等式解集．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
【答案】-4
【解析】
【分析】实数的综合运算，难度不大，需要注意底数非零的0指数幂结果为1
【详解】解：原式＝2﹣3﹣2﹣1＝﹣4．
【点睛】掌握实数运算的法则，是做好该类题的核心．这种题难度都不大，做一步检查一部，牢记法则，就不会出错．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组．解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到即可确定一元一次不等式组的解集．
详解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
19. 先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，原式（当时，原式）
【解析】
【分析】先将原式化简，然后从0，1，2，3四个数中选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的分式即可解答本题．
【详解】解：原式＝
由题意可知：，
∴
当时，原式（当时，原式）
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义，即的值不等于1，3．
20. 学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元．
（1）购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元?
（2）若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元?
【答案】（1）购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需15元
（2）购买跳绳所需最少费用是600元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程及关系式是解题关键．
（1）设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设所需的费用为W元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需元．
【小问2详解】
解：设所需的费用为W元，则
，
根据题意，得，
，
m的最大值是，
，W随m的增大而减小，
当时，W的最小值是，
答：购买跳绳所需最少费用是600元．
21. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，柳州某中学举行党史知识竞赛.团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
（2）补全条形统计图；
（3）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛.请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A，C两人同时参赛的概率.
【答案】（1）50 ，144；
（2）补图见解析； （3）列表或画树状图见解析，
【解析】
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：50，144；
【小问2详解】
解：成绩优秀的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有2种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，在矩形中，，垂足分别是点．
（1）求证：；
（2）若，求的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）证明即可求证；
（）由得，，进而由，可得，，即可得，设，利用勾股定理可得，即得，再根据正切的定义即可求解；
本题考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，掌握矩形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，与相交于点，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：______，②：______，③：______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
如图3，在菱形中，，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．
【答案】【过程思考】（1）①，②，③2；（2）点M是边的三等分点，证明见解析；【拓展提升】或
【解析】
【过程思考】（1）先根据两个三角形全等，可得到第一个空的条件，然后根据直角三角形的勾股定理可得到第二个空，最后求得结果即可；
（2）根据两个三角形相似以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果；
【拓展提升】根据E是上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．
【详解】过程思考：（1）解：结合①下面两个三角形全等，可以得到该空为，
此时可根据（HL）推断出两个三角形全等；
根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即，则；
将化简可得：，
移项合并同类项得：，解得，即，
故答案为：①，②，③2；
（2）解：点M是AB边三等分点，证明如下：
证明：由第1步的操作可知E，F分别是，的中点，
∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴点M是否为边的三等分点；
拓展提升：解：连接交于点O，如图所示：
，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
分两种情况：
①当时，如图所示，连接，与交点N，
，
由对称性可知，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
即，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，连接，
由对称性可知，，，
，，
过点A作于点N，如图所示：
，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
在中，，
即，
解得：（舍），，
∴，
即，
综上的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24. 已知直线与抛物线有一个公共点，且．
（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）若直线与拋物线的另一个交点记为，求面积的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）由可得，即得到，即可求解；
（）联立函数式得，可得，即可求证；
（）画出函数图象，设抛物线对称轴交直线于点，求出二次函数对称轴，得到，即得，解方程得，的面积为，得，进而可得，由关于的方程有实数根，得，根据，即可得，进而求解；
本题考查了求二次函数图象的顶点坐标，一次函数和二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，二次函数的几何应用，掌握二次函数与一次函数交点坐标的求法及一元 二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线顶点的坐标为；
【小问2详解】
证明：∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
由得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线与抛物线有两个交点；
【小问3详解】
解：如图，设抛物线对称轴交直线于点，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
由，
解得，，
∴
设的面积为，
则，
∴，
∵关于的方程有实数根，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，由方程可得，
，
即，
解方程得，符合题意，
∴面积的最小值为．
25. 在中，为边上一点，为线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等等：
（1）根据三角形外角的性质得到，再由，即可证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，得到，，设，则，证明，得到，即可得到；则，可得，则；如图所示，将绕点A旋转得到，过点C作交延长线于H，则，，证明，则解直角三角形得到，进而求出，则．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：如图所示，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点E作于G，
由（2）可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，将绕点A旋转得到，过点C作交延长线于H，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
证明过程如下：连接，
∵正方形沿折叠，
∴， ① ，
又∵，
∴，
∴．
由题意可知E是的中点，设（个单位），，
则，
在中，可列方程： ② ，（方程不要求化简）
解得： ③ ，即H是边的三等分点．