精品解析：北京市第五十七中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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1. 25的算术平方根是（ ）
A. 5B. C. ﹣5D. ±5
【答案】A
【解析】
【详解】一个正数的正的平方根为这个数的算术平方根．因为=25，则25的算术平方根为5．
故选：A．
2. 下列各数中的无理数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可得到答案．
【详解】解：A ．是有理数，故本选项不符合题意；
B ．是有理数，故本选项不符合题意；
C ．是无理数，故本选项符合题意；
D ．是有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
3. 若，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
【详解】解：∵m＜0，
∴2m＜0，
∴点P（3，2m）在第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键.
4. 在下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补D. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角、平行公理的推论、平行线的判定、同旁内角逐项判断即可得．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，此项是真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，此项是假命题；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此项是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
5. 如图，直线，是截线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠2=180°，然后在根据列出方程求解即可．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠2=4∠1，
∴∠1+4∠1=180°，
解得∠1=36°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6. 若实数a，b满足，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零，求出a、b的值，然后代入即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了非负数的性质—绝对值和算术平方根，代数式求值，根据两个非负数的和为0则这两个数都为0求出a、b的值是解决此题的关键．
7. 如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC于点O. OM平分∠BOD，如果∠AOE =50°，那么∠BOM的度数是
A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据AO⊥BC可得∠AOC=90°, 然后根据∠COE=90°-∠AOE求出∠COE的度数,由对顶角相等可得∠BOD=∠COE,再根据角的平分线的定义求得∠BOM即可．
【详解】∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°,
∴∠COE=90°-∠AOE=90°-50°=40°,
∴∠BOD=∠COE=40°.
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM=∠BOD =×40°=20°.
故选A.
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义以及对顶角的性质，正确求得∠BOD的度数是关键．
8. 如图①，一张四边形纸片ABCD，，，若将其按照图②所示方式折叠后，恰好，,则的度数为( )
A. 75B. 70C. 85D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】先根据翻折变换的性质得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行线的性质求出∠1+∠D′MN及∠2+∠D′NM的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图2：
∵△MND′由△MND翻折而成，
∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，
∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，
∴∠1=∠D′MN===25°，∠2=∠D′NM===75°，
∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°．
故选D．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及平行线的性质，解答此类题目时往往隐含了三角形的内角和是180°这一知识点．
9. 如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论的个数有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到．
【详解】解：∵，，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；故②正确；
∵，
∴，
∴；故④正确．
故正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
10. 如图，将边长为1的正方形依次放在坐标系中，其中第一个正方形的两边OA1，OA3分别在y轴和x轴上，第二个正方形的一边A3A4与第一个正方形的边A2A3共线，一边A3A6在x轴上……以此类推，则点A2020的坐标为（ ）
A. （672，﹣1）B. （673，﹣1）C. （336，1）D. （337，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】观察平面直角坐标系，先求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：观察平面直角坐标系可知，点的坐标为，即，
点的坐标为，即，
点的坐标为，即，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
因为，
所以点的坐标为，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
二、填空题（每题2分，共10道，共20分）
11. 写出一个大于2且小于3的无理数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求出答案．
【详解】解：依题意，写出一个大于2且小于3的无理数可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小路，则改造后小路的长度_____，草地部分的面积_____．（填“变大”，“不变”或“变小”）

【答案】 ①. 变大 ②. 不变
【解析】
【分析】根据两点之间，线段最短即可判断改造后小路的长度变化，根据平移的性质即可判断草地部分的面积变化．
【详解】解：根据两点之间，线段最短可得改造后小路的长度变大，
设长方形的草地的长为a，宽为b，第一个图形改造后草地的面积是a(b－1)，将第二个图形根据平移的性质可知改造后草地的面积也是a(b－1)，所以改造后草地部分的面积不变．
故答案为：变大；不变．
【点睛】本题考查了平移的性质和两点之间，线段最短等知识，正确理解题意、灵活应用平移的性质是解题的关键．
13. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面，则___________°．
【答案】270
【解析】
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：270．
14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－3，2），若线段轴，且AB的长为4，则点B的坐标为_________．
【答案】（-7，2）或（1，2）##（1，2）或（-7，2）
【解析】
【分析】根据平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系进行分析解答即可．
【详解】解：∵点A坐标为（-3，2），且AB∥x轴，
∴可设点B的坐标为（x，2），
∵AB=4，
∴，解得：或，
∴点B的坐标为（-7，2）或（1，2）．
故答案为：（-7，2）或（1，2）
【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系，熟练掌握平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相等；平行于x轴的直线上的两点间的距离等于这两个点的横坐标差的绝对值．
15. 若是二元一次方程的一个解，则的值是________________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的方程，代入代数式可得答案．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴代入得：2a﹣b＝-2，
∴
故答案为：0．
【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．
16. 已知，且为两个连续整数，则______．的小数部分是______．
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键．
先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴的小数部分是．
故答案为：9，．
17. 将点先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到点，则点的坐标为 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．让点A的横坐标减4，纵坐标减3即可得到平移后点的坐标．
【详解】解：将点先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到点，
则点坐标为，即．
故答案为：．
18. 在平面直角坐标系中，若某个点横、纵坐标均为整数，则称这个点为坐标平面内的整点．若点是第一象限的整点，且点的坐标满足，则满足条件的整点的个数为______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，第一象限内点坐标特点，根据第一象限内点的横纵坐标都为正得到x、y都是正整数，据此求出方程的正整数解个数即可得到答案．
【详解】解：∵点是第一象限的整点，
∴x、y都是正整数，
又∵，
∴或，
∴满足题意得点P的坐标为或，共2个，
故答案为：2．
19. 如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为．
①当时，区域内的整点个数为______；
②当时，区域内的整点个数为______．
【答案】 ①. 3 ②. 3
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键．
①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可；
②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可．
【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3；
解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3．
故答案为：3,3
20. 我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为．例如图①中，点与点之间的折线距离为．如图②，已知点，若点的坐标为，且，则的值为______．

【答案】或7
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值方程等知识点，正确理解折线距离以及绝对值方程的解法是解题的关键．
根据折线距离的定义可得关于t的绝对值方程，解方程即可解答．
【详解】解：∵已知点，若点的坐标为，且，
∴，解得：或7．
故答案为：或7．
三、解答题（共50分）
21. 如图，点A在的一边上．请按要求完成画图：
（1）过点A画直线的另一边相交于点；
（2）过点A画的垂线段，垂足为点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的定义，掌握垂线的定义是解题的关键．
（1）根据垂线的定义作图即可解答；
（2）根据垂线段的定义作图即可解答．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求．
【小问2详解】
解：如图，垂线段即为所求．
22. 计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求一个数的立方根，实数的混合运算进行计算即可；
（2）先化简绝对值，根据实数的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：原式＝
【小问2详解】
解：原式＝
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，正确的计算是解题的关键．
23. 解方程或方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根解方程即可求解．
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【小问1详解】
．
．
．
解得或．
【小问2详解】
①×2-②得．
将代入①得．
解得．
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了根据平方根解方程，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
24. 已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证；
（2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，过点作，

，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，已知点A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)，若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点P(x，y)经过平移后的对应点为P1(x﹣4，y+2)．
（1）在图中画出三角形A1B1C1；
（2）写出点A1的坐标_______；
（3）直接写出三角形A1B1C1的面积为_______；
（4）点M在y轴上，若三角形MOC1的面积为6，直接．写出点M的坐标为_______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）25 （4） 或
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后将这三点顺次连接起来即可；
（2）根据点A1的位置写出坐标即可；
（3）利用分割法把三角形面积看成其外接矩形的面积减去周围三个直角三角形面积即可；
（4）设M（0，m），根据面积为6建立方程求出m，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：A1点的坐标为 ，即 ；
【小问3详解】
三角形A1B1C1的面积= ；
【小问4详解】
∵C1到y轴的距离等于3，
设M点的坐标为 ，
∴三角形MOC1的面积= ，
解得 或 ，
∴M点的坐标为 或．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
26. （1）某商场从厂家购进了两种品牌足球共100个，已知购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元，其中品牌足球每个进价是50元，品牌足球每个进价是80元．求购进、两种品牌足球各多少个？
（2）阅读材料：
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离，则．
例如：
若点，则，
若点，且，则．
根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的的值．
根据上面材料完成下列各题：
若点，则两点间的距离是______．
若点，点在轴上，且两点间的距离是5，求点坐标．
【答案】（1）购进品牌足球40个，品牌足球60个；（2）；或．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用及平面直角坐标系中两点间的距离公式、点的坐标以及分类讨论思想，解题关键是熟练运用公式．
（1）设购进品牌足球个，购进品牌足球个，由题意：购进了、两种品牌足球共100个，已知购买品牌足球比购买品牌足球少花2800元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
（2）根据材料所给两点间的距离公式求解即可；
设，根据点的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可．
【详解】（1）解：设购进品牌足球个，购进品牌足球个，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进品牌足球40个，品牌足球60个．
（1）解：，，
，
故答案为：；
设，
点在轴上，
，
，
，且、两点间的距离是5，
，
整理得，
，
或，
或，
或．
27. 如图，已知分别在上，点在之间，连接．
（1）当平分平分时：
①如图1，若，则的度数为______；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的度数；
（2）如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）①；②．
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据即可解答．
【小问1详解】
解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
【小问2详解】
解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即．
28. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
（2）若两点为“等距点”，求k的值．
【答案】（1）①E、F；②
（2）1或2
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
【小问1详解】
①点到x、y轴的距离中最大值为3，
与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有，
这些点中与A符合“等距点”的是．
故答案为①E、F；②；
【小问2详解】
两点为“等距点”，
①若时，则或
解得（舍去）或．
②若时，则
解得或（舍去）．
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
即k的值是1或2．