河北省承德市第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份河北省承德市第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．直线：的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
4．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上
6．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．PQ的最小值为2B．PQ的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
10．已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ）
A．PF1的取值范围是
B．
C．以线段为直径的圆被直线截得的弦长为
D．直线与直线的斜率之积
11．在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（ ）
A．二面角 的平面角的正切值为 2
B．三棱锥 体积为
C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为
D．线段 的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知直线，若，则 .
13．已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 .
14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论：
①当点是中点时，直线平面；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题13分)已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；
（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值．
16．(本小题15分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求直线平面夹角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
17．(本小题15分)已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
18．(本小题17分)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
19．(本小题17分)在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，进而求倾斜角.
【详解】由题，直线方程可化为，
则斜率为，所以倾斜角为，
故选：C.
2．A
【分析】由圆的性质可知，圆心在直线与直线垂直平分线的交点处，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离.
【详解】由点，在圆上，，中点坐标为，
则与直线的垂直平分线的直线方程为即，则圆心在直线与垂直平分线的交点处，则联立方程组：
，解得，则圆心为，，所以圆的方程为：
.
故选：A
3．D
【分析】根据椭圆的几何性质,分别求解长轴，短轴，焦距，离心率即可求解.
【详解】由于的长轴长为，短轴长为，
焦距为，离心率为，
而椭圆的长轴长为10，短轴长为8，短轴长为6，离心率为，
故两个椭圆的焦距相等，
故选：D
4．C
【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角公式即可求解．
【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
因为，，则，，，，
可得 ,
则，
则直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5．B
【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解.
【详解】设动圆的圆心为，半径为，
由，可得圆心，半径，
由，可得圆心为，半径
由题意可得，消去可得，
所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线.
故选：B.
6．C
【分析】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解．
【详解】
如图，由椭圆定义可知，且，又，
利用余弦定理可知：
，化简可得，
所以的面积为，
设的外接圆半径为，内切圆半径为，
由正弦定理可得，可得，
易知的周长为，
利用等面积法可知，
解得，
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，
即可得，所以，离心率.
故选：
7．B
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离.
【详解】在直三棱柱中，，
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，E、F分别为的中点，
则，，，，，
所以，，，

设平面的法向量为，则，
即，取，则，，
所以是平面的一个法向量，
又因为，
所以点F到平面的距离为.
因为在直三棱柱中，分别为的中点，
则且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.
故选：B.
8．C
【分析】根据双曲线的定义结合，求得，，在中，利用余弦定理求得之间的关系，进而求得之间的关系，即可得出答案.
【详解】
由双曲线定义知，因为，
所以，，
在中，因为，，
所以，
即，化简得，
又，所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
9．BC
【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项；
【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，
：，，半径为1，
圆心距为，又点在圆上，点在圆上，
，，故A错误，B正确；
对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；
对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；
故选：BC．
10．AD
【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D.
【详解】
易知，
对于A，设Px0,y0，易知，
则
，故A正确；
对于B，易知四边形为平行四边形，
即，故B错误；
对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则相应弦长为，故C错误；
对于D，易知，故D正确.
故选：AD
11．ACD
【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D．
【详解】如图，设交于点，
平面，平面，则，同理，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
所以是二面角的平面角，
由已知，，
所以，A正确；
由正方体性质知，B错；
如图，设交于点，由且得，
即，，
由平面，平面，得，同理可得，
而，平面，所以平面，
（易得实际上等边是的中心）
以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面，
为圆心，设是圆周上一点，则，
圆面积为，C正确；
延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点，
因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立，
以为原点， 轴建立空间直角坐标系，如上图，
则，，，∴，
，D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】根据直线垂直，代入公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，解得：.
故答案为：
13．
【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解.
【详解】由双曲线的方程，可得，则，
设，则，解得，
因为点在双曲线上，代入可得，解得，故.
故答案为：.
14．①②③
【分析】对①：由线面平行的判定定理进行判断即可；
对②：把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可；
对③和④：都属动点问题，把几何问题转化为空间向量的问题，对于③，只需证明有解即可；对于④，只需求出点到直线距离的最小值即可.
【详解】对①，如图所示:

因为是中点，，
所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接，
所以，而平面，平面，
所以直线平面，故①正确；
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点，
所以，平面，平，故平面，
故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
，，，
，，
由得，故②正确；
对③，设，，，
则，，
由，得，
得，由，故存在点，使得，故③正确；
对④，由③得到的投影为，
故到的距离，
面积为，，
由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错．
故答案为：①②③
15．（1）；（2）：（3）．
【分析】（1）由两直线方程联立求圆心C，根据两点距离公式求半径，写出圆的方程；
（2）由点线距离公式可知C到直线的距离，根据弦长、弦心距、半径的关系即可求弦长|MN|；
（3）由点线距离公式求圆心到直线的距离d，根据圆上点到直线最大距离与d的关系，即可求距离最大值.
【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，
圆C的半径，
∴圆C的方程为：.
（2）由C点到直线的距离，
∴|MN|=2．
（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为．
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；
（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值；
（3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
令，则，则，

直线平面夹角的正弦值为；
（3）由（2）知，平面的法向量为，
点到平面的距离为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可；
（2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可.
【详解】（1）由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解；
（3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，

所以.
又因为平面平面，
平面，
所以面；
（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
由，得
，
点到平面的距离
（3）设
所以点到面的距离为定值
.
，
解得：或.
19．(1)证明见解析
(2)存在，的长度为3或
【分析】（1）通过证明，来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案.
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面， 平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面.
（2）由（1）知，以CD为轴，CB为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为3或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
B
C
B
C
BC
AD
题号
11









答案
ACD