河北省承德市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份河北省承德市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数则（ ）
A．B．C．1D．4
3．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
4．下列各组函数中，和表示相等函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
6．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
8．已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，”是真命题
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
10．已知命题：函数的图象与轴有交点，命题：，.若，全为真命题，则实数的取值可以是（ ）
A．B．0C．D．
11．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（ ）
A． B．在上为增函数；
C． D．解集为或
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知均为正实数且，则的最小值为 ．
13．已知函数 ，则
14．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有 个．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本题13分)已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16．(本题15分)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元．
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
17．(本题15分)已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式的解集.（其中）
18．(本题17分)设函数，.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集.
19．(本题17分)已知函数，点是图象上的两点．
(1)求的值：
(2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
(3)若函数，求函数的值域．
参考答案：
1．A
【分析】根据集合的补集与交集的概念，可得答案.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．B
【分析】根据自变量的值选择对应的函数关系求值即可.
【详解】∵时，，∴，
又∵时，，∴，
∴.
故选：B
3．B
【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC.
【详解】对于A，取，得，A错误；
对于B，由，得，而，则，B正确；
对于C，由，得，C错误；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：B
4．C
【分析】根据同一函数的对应法则、定义域都相同判断各项正误.
【详解】A：定义域为，与的定义域不同，不符合题意；
B：定义域为，与的定义域不同，不符合题意；
C：，显然与对应法则和定义域都相同，符合；
D：定义域为，与的定义域不同，不符合题意.
故选：C
5．A
【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于AC选项，因为，则，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，A对C错；
对于BD选项，因为，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，
所以，即没有最小值，BD都错.
故选：A.
6．D
【分析】根据增函数的定义求解即可.
【详解】因为在上是增函数，且，
所以.
故选：.
7．C
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，不等式的解集为，
当时，即当时，原不等式即为，合乎题意；
当时，即当时，则有，
解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
8．B
【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可；
【详解】由在上满足，
设，则，即在上为减函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
9．ABD
【分析】利用存在量词命题的否定判断A；判断存在量词命题的真假，判断B；
利用充分条件的定义判断C；利用充分不必要条件的定义判断D.
【详解】对于A，由存在量词命题的否定形式知命题正确，A正确；
对于B，当时，成立，B正确；
对于C，取，，满足，而，不是充分性条件，C错误；
对于D，能推出，而不能推出，“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：ABD
10．ACD
【分析】分别求出命题为真命题的值范围即可得解.
【详解】函数的图象与轴有交点，显然，因为的图象在轴下方，
则，而，解得或，即命题：或；
当时，，当且仅当时取等号，
由，，得，解得，即命题：，
由，全为真命题，得或，
所以实数的取值可以是或或.
故选：ACD
11．ACD
【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式.
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，，即，
所以函数为减函数，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D，由得到，所以，
于是，解得或，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】因为，
所以，
因为，
当且仅当时取得等号，即，
又因为，所以联立，解得，
所以，
所以当时，有最小值，最小值为49，
故答案为:49.
13．
【分析】先证明，再利用分组求和法即可得解.
【详解】因为，所以，
而，则，
所以
.
故答案为：.
14．120；
【分析】设两筐椰子原来共有个,根据题目条件列出关于的方程求解即可.
【详解】设两筐椰子原来共有个,则一共卖出个,其中每个买入成本价为,则售价为,故共卖得元,又赚得78元,所以,化简得,即,两边同乘得
,因式分解,又,所以.
故答案为120.
【点睛】本题属于一元方程列式求解问题,设所求量为,再根据题目条件列出的方程求解即可.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
16．(1)
(2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元.
【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案；
（2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
故；
（2）当时，
，故当百台时，取得最大值，最大值为万元，
当时，
（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元.
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用换元法求解；
（2）分类讨论求解一元二次不等式即可.
【详解】（1）由题意，函数，令，
，
所以．
（2）不等式，即，
整理得，即，
当时，，∴不等式的解集为或；
当时，，∴不等式的解集为；
当时，，∴不等式的解集为或．
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【详解】（1）因为函数在上单调递减，
当时，即函数在上单调递减，合乎题意；
当时，因为二次函数在上单调递减，
可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）不等式可化为，
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的两根分别为，.
（i）当时，，解原不等式可得；
（ii）当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．(1)
(2)函数在上单调递减，，
(3)
【分析】（1）根据题意将两点代入函数解析式列出方程组即可求解；
（2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值；
（3）由题意可得，令，进而结合对勾函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，得，解得.
（2）由（1）知，，
任取，且，
则，
因为，所以，，
则，即，
所以函数在上单调递减，
则，.
（3）由（1）知，，
则，，
令，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且时，，
所以函数的值域为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
A
D
C
B
ABD
ACD
题号
11









答案
ACD