重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测(二)数学试题

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(满分: 150 分; 考试时间: 120 分钟)
2024 年 11 月
注意事项:
1. 答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。
3. 考试结束后, 将答题卡交回 (试题卷学生保存, 以备评讲)。
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣lg2x+10,φ|0,b>0 的一条渐近线的斜率为 k1 ,双曲线 C2:x28-y22=1 的一条渐近线的斜率为 k2,k1⋅k2=1 ,且 C1 的一个焦点到其渐近线距离为 2 .
(1) 求 C1 的方程;
(2)若 C2 上任意一点 A 关于直线 y=x 的对称点为 A' ,过 A' 分别作 C1 的两条渐近线的平行线,与 C1 分别交于 PQ 求证: A'P⋅A'Q 为定值.
19. 对于一个函数 fx 和一个点 Ma,b ,令 sx=x-a2+fx-b2 ,若 sx 在 x=x0 时取得最小值的点,则称 x0,fx0 是 M 的 “ f 最近点”.
(1) 对于函数 fx=1x,x∈0,+∞ ,求证: 对于点 M0,0 ,存在点 P ,使得点 P 是 M 的 “ f 最近点”;
(2) 对于函数 fx=lnx,x∈0,+∞,M0,1 ,请判断是否存在一个点 P ,使它是 M 的“ f 最近点”,若存在,求出 fx 在点 P 处的切线方程; 若不存在,请说明理由.
(3) 已知函数 fxx∈R 可导,函数 gx>0 在 x∈R 上恒成立,对于点 M1t+1,ft-gt 与点 M2t-1,ft+gt ,若对任意实数 t ,均存在点 P 同时为点 M1 与点 M2 的 “ f 最近点”,说明 fx 的单调性.