中考数学一轮复习考点题型归纳与分层练习专题15 图形的初步认识（2份，原卷版+解析版）

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技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【题型】一、线段的中点
【题型】二、角的计算
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
【题型】四、余角与补角的相关计算
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
【题型】六、邻补角相等求角的度数
【题型】七、平行线的判定
【题型】八、平行线的应用
【题型】九、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．
2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算．
3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、直线、射线、线段与角
【技巧归纳】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
【类型】一、利用平行线的定义
1．下面的说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行 B．同一平面内不相交的两条射线平行m]
C．同一平面内不相交的两条直线平行 D．以上三种说法都不正确
【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”
2．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”
3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”
4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”
5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.
【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”]
6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
【类型】一、利用平角、对顶角转换求角
1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．
解：由∠EOC∶∠EOD＝2∶3，
设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.
因为∠EOC＋∠________＝180°(____________)，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠EOC＝72°.
因为OA平分∠EOC(已知)，
所以∠AOC＝eq \f(1,2)∠EOC＝36°.
因为∠BOD＝∠AOC(______________)，
所以∠BOD＝________．
【类型】二、利用垂线求角
2．如图，已知FE⊥AB于点E，CD是过点E的直线，且∠AEC＝120°，则∠DEF＝________°.
3．如图，MO⊥NO于点O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，则∠GOP的度数为________．
4．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【类型】三、直接利用平行线的性质求角
5．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.
【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角
6．如图，∠1与 ∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【类型】二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
b．“”形图
3．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
e．“”形图
6．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
【类型】三、平行线间多折点角度问题探究
7．(1)在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？
(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
【题型讲解】
【题型】一、线段的中点
例1、如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
【题型】二、角的计算
例2、如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）
A．19°B．38°C．42°D．52°
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
例3、如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66°B．56°C．68°D．58°
【题型】四、余角与补角的相关计算
例4、如图， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
例5、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5
【题型】六、邻补角相等求角的度数
例6、如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型】七、平行线的判定
例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【题型】八、平行线的应用
例8、如图， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点E，F， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型】九、求平行线间的距离
例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
图形的初步认识（达标训练）
一、单选题
1．如图所示，下列条件中能说明 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A．137°B．53°C．47°D．43°
3．如图，若AB SKIPIF 1 < 0 CD，CD SKIPIF 1 < 0 EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1D．∠1＋∠2
4．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
7．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为______．
8．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为 _____．
三、解答题
9．已知， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．试探究：
(1)如图1， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是______，并说明理由；
(2)如图2，写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
图形的初步认识（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ，等腰直角 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别落在直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外角， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，EB SKIPIF 1 < 0 AC， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF＝∠GFE＝45°，∠H＝60°，∠EFH＝30°），满足点E在AB上，点F在CD上，AB∥CD，∠AEG＝20°，则∠HFD的大小是（ ）
A．70°B．40°C．35D．65°
5．如图，已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，一个含有 SKIPIF 1 < 0 角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________度．
7．如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为________．
三、解答题
8．（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．
做法一：
①以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作弧，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ；
③再以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作弧，与前弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ；
④连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
做法二：
①以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作弧；
②以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径作弧；两弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ；则 SKIPIF 1 < 0 ．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：____________________________________
做法二：____________________________________
（2）如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，请你再加一个条件，使四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，并证明．
直线射线线段与角
直线公理
经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
射线
直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
线段
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.
两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
角
1°=60',1'=60″.
1周角=2平角=4直角=360°.
余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.
对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
角平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
垂线段公理
直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
平行线
（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行线的性质:
① 两条直线平行,同位角相等;
② 两条直线平行,内错角相等;
③ 两条直线平行,同旁内角互补.
（3）平行线的判定:
① 同位角相等,两条直线平行;
② 内错角相等,两条直线平行;
③ 同旁内角互补,两条直线平行.