中考数学二轮复习提升练习12 几何图形中新定义型问题（含三角形，特殊的平行四边形，圆综合，5题型）（2份，原卷版+解析版）

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目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
三角形，特殊的平行四边形，圆中新定义型问题是全国中考的热点和压轴内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，三角形，特殊的平行四边形，圆中新定义型问题主要是依据基本图形的性质定理去解决新提出来的新问题，也是高频考点、必考点综合性较强。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！
题型一 三角形中的新定义问题
【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏苏州·二模）定义：如果三角形的两个 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．

(1)若 SKIPIF 1 < 0 是“奇妙互余三角形”， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为______；
(2)如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，点D是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；
(3)如图2，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是对角线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是“奇妙互余三角形”，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识．解题的关键在于理解题意并对知识进行灵活运用．
【例2】（2023·吉林长春·二模）【定义】如图①，若 SKIPIF 1 < 0 内一点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P为 SKIPIF 1 < 0 的布洛卡点．
【探究】（1）如图②，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点P是 SKIPIF 1 < 0 的一个布洛卡点．
求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【应用】（2）如图③，在【探究】的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．判断AP与CP的数量关系，并说明理由．
1．（2023·山东青岛·一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角形．如图①， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，F是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 是中原三角形．

(1)求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．
(2)如图②， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，E是边 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 是中原三角形．
(3)如图③，在（2）的条件下，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比．
2．（2023·江苏扬州·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．

(1)如图①， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为“友好三角形”，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点（异于 SKIPIF 1 < 0 点）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 （填“ SKIPIF 1 < 0 ”或“=”或“ SKIPIF 1 < 0 ”）， SKIPIF 1 < 0 ______°（用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示）．
(2)如图②， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为“友好三角形”，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是底边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，请探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由．
(3)如图③， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为“友好三角形”，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点，若点 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 点运动到 SKIPIF 1 < 0 点，直接写出 SKIPIF 1 < 0 点运动的路径长．
3．（2023·浙江宁波·二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
(1)如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为叠似三角形；
(2)如图2， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为叠似三角形，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长；
(3)如图3，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，F为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
4．（2023·贵州遵义·一模）综合与实践
新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)【初步尝试】如图1，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，当 SKIPIF 1 < 0 ______时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为积等三角形；
(2)【理解运用】如图2， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为积等三角形；若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为正整数，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)【综合应用】如图3，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为积等三角形．
题型二 矩形中的新定义问题
【例1】（新考法，拓视野）（2023·湖北随州·模拟预测）定义：长宽比为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为正整数）的矩形称为 SKIPIF 1 < 0 ，我们通过折叠的方式折出一个 SKIPIF 1 < 0 矩形

操作1：将正方形 SKIPIF 1 < 0 沿过点 SKIPIF 1 < 0 的直线折叠，使折叠后的点 SKIPIF 1 < 0 落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 处，折痕为 SKIPIF 1 < 0 ．
操作2：将 SKIPIF 1 < 0 沿过点 SKIPIF 1 < 0 的直线折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别落在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上．
(1)证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 矩形；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点．
①如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 的中点，若点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，当 SKIPIF 1 < 0 的周长最小时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
③连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ______．
本题是相似形综合题，主要考查了新定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质和判定等知识，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键．
【例2】（2024·江西九江·一模）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如： SKIPIF 1 < 0 三边的长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知 SKIPIF 1 < 0 是比例三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的一动点， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交边 SKIPIF 1 < 0 于点Q， SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②求证： SKIPIF 1 < 0 是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，点C与点Q能否重合？若能，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不能，请说明理由．
1．（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将 SKIPIF 1 < 0 纸片沿中位线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 边上的 SKIPIF 1 < 0 处，再将纸片分别沿 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 都与点 SKIPIF 1 < 0 重合，得到双层四边形 SKIPIF 1 < 0 ，则双层四边形 SKIPIF 1 < 0 为______形．
(2) SKIPIF 1 < 0 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)如图3，四边形 SKIPIF 1 < 0 纸片满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．（2023·广东广州·一模）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)如图②，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线分别交边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，要使四边形 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角四边形，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
题型三 菱形中的新定义问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）请阅读下面材料，并完成相关任务：
定义：点P是 SKIPIF 1 < 0 内部或边上的点（顶点除外），在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 中，如果有一个三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似，那么称点P是 SKIPIF 1 < 0 的“相似点”．
例：如图①，点P在 SKIPIF 1 < 0 的内部， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故点P为 SKIPIF 1 < 0 的“相似点”．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
(1)如图②，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，求证：点P为 SKIPIF 1 < 0 的“相似点”；
(2)如图③，若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，点E是 SKIPIF 1 < 0 的“相似点”，且点B与点A对应，点E在 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如图④，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 上一点，F是 SKIPIF 1 < 0 内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点G，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若点G是 SKIPIF 1 < 0 的“相似点”，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键.
【例2】（22-23八年级下·江苏南京·期末）定义：若一个四边形只有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是近似菱形．

(1)如图②，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是“近似菱形”，
(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形” SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补．
要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(3)在（2）的条件下，“近似菱形” SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________________．
1．定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．

(1)如图（a）， SKIPIF 1 < 0 是中垂三角形， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，且 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．
(2)如图（b），在中垂三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 上的中线，且 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(3)如图（c），四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，对角线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交于点 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 是中垂三角形；
题型四 正方形中的新定义问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西宜春·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 叫作“等补四边形”．
(1)概念理解
①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②等补四边形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
③如图1，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是等补四边形．
(2)探究发现
如图2，在等补四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是否平分 SKIPIF 1 < 0 ？请说明理由．
(3)拓展应用
如图3，在等补四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其外角 SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【例2】（2024·浙江·一模）定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为蝴蝶四边形．

(1)【概念理解】如图2，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于O．求证：正方形 SKIPIF 1 < 0 为蝴蝶四边形；
(2)【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求此时以 SKIPIF 1 < 0 为边的正方形的面积．
1．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形．如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），则四边形 SKIPIF 1 < 0 叫作完美四边形．

(1)概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四边形”的是______；（填写序号）
(2)性质探究：如图2，完美四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请用等式表示线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明，
(3)拓展应用：如图3，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 是完美四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
2．（2023·湖南·一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________；
A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形
(2)如图1，在边长为a的正方形 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 边上一动点（E不与C、D重合）， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，过F作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H．
①试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长；
③若四边形 SKIPIF 1 < 0 是“等补四边形”，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
3．（2024·江苏淮安·模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定理，并且能用相关知识解决问题．
【问题再现】
已知：如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中，D、E分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【简单应用】
（1）如图2，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接 SKIPIF 1 < 0 ，分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点D、E．测得 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，则A、B两地的距离为_______ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图3，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【灵活运用】
如图4，在边长为6的正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是 SKIPIF 1 < 0 上一点， 点F是 SKIPIF 1 < 0 上一点，点F关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点G恰好在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点H，点M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
题型五 圆中的新定义问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是圆的“奇妙四边形”，则 SKIPIF 1 < 0 是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 SKIPIF 1 < 0 的半径为R，四边形 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“奇妙四边形”．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图2，四边形 SKIPIF 1 < 0 是“奇妙四边形”，P为圆内一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 的长度最小时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
【例2】（2023·江苏泰州·三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点E，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 是弦， SKIPIF 1 < 0 是半径，求作： SKIPIF 1 < 0 的内接垂等四边形 SKIPIF 1 < 0 ．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是 SKIPIF 1 < 0 上一定点，B为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，以 SKIPIF 1 < 0 为一边作出 SKIPIF 1 < 0 的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点E， SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，当点E到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 时，求弦 SKIPIF 1 < 0 的长度．

1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）数学活动课上，指导老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．同时老师还给出如下几个问题，请同学们帮忙解决：
(1)如图1，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1，已知A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，且以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边的四边形 SKIPIF 1 < 0 是对等四边形，则顶点D的坐标为______；
(2)如图2，在圆内接四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ．求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是对等四边形；
(3)如图3，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点A为 SKIPIF 1 < 0 中点，动点D从点P出发，沿 SKIPIF 1 < 0 以1/秒的速度向终点C运动．设运动时间为t秒，若四边形 SKIPIF 1 < 0 是对等四边形时，求t的值．
2．（2023·四川遂宁·一模）定义 SKIPIF 1 < 0 ：如图 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，在 SKIPIF 1 < 0 的同侧有两条以 SKIPIF 1 < 0 为端点的线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 满足“光学性质”；
定义 SKIPIF 1 < 0 ：如图 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的三个顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 满足“光学性质”， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 满足“光学性质”， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 满足“光学性质”，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三个顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 满足“光学性质”，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)如图4，在 SKIPIF 1 < 0 中，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的光线三角形．
3．（2023·广东阳江·三模）定义： SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为倍余三角形．

(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1， SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直径 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 也为倍余三角形，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
②如图2，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，求 SKIPIF 1 < 0 的值．