2025年高考数学二轮培优第19题新定义压轴题讲义专题06 高等解析几何背景新定义（七大题型）（2份，原卷版+教师版）

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题型一：特殊空间几何体新定义
题型二：空间斜坐标系新定义
题型三：结合解析几何距离新定义
题型四：空间直线方程
题型五：空间平面方程
题型六：立体几何与解析几何结合新定义
题型七：解析几何概念新定义
【方法技巧与总结】
空间立体几何与解析几何新定义试题呈现的结构通常为“给出图形的新定义—探索图形的新性质—运用图形的新性质解决问题”，设问的层次通常为从简单到复杂、从特殊到一般．理解概念重要的不仅是概念如何定义，而且是概念能够引出哪些性质(具有哪些表征)；研究图形重要的不仅是发现了什么结论，而且是采用了怎样的思想方法．这正是数学课程性质中的抽象结构思想和数学课程目标中的核心素养导向的体现．
【典型例题】
题型一：特殊几何体新定义
【典例1-1】(2024·高三·河北·阶段练习)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义一种运算： SKIPIF 1 < 0 ，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平行六面体 SKIPIF 1 < 0 是直四棱柱；
(2)计算 SKIPIF 1 < 0 ，并求该平行六面体的体积，说明 SKIPIF 1 < 0 的值与平行六面体 SKIPIF 1 < 0 体积的关系.
【典例1-2】(2024·高二·上海徐汇·期中)设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ，2，…，k， SKIPIF 1 < 0 )为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 ，…，平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 在各个顶点的离散曲率之和；
(2)若直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 在点A处的离散曲率为x，直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式及单调区间．
【变式1-1】(2024·辽宁沈阳·二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为轴将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别向上翻转 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点重合为点 SKIPIF 1 < 0 所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 SKIPIF 1 < 0 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 SKIPIF 1 < 0
(i)用 SKIPIF 1 < 0 表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积 SKIPIF 1 < 0 ；
(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点 SKIPIF 1 < 0 的曲率的余弦值.
题型二：斜坐标系新定义
【典例2-1】(2024·高二·湖北·阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 SKIPIF 1 < 0 ，我们将这种坐标系称为“斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”下向量的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标： SKIPIF 1 < 0 分别为“斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”下三条数轴( SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴)正方向上的单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与有序实数组 SKIPIF 1 < 0 一一对应，称向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标；
(2)在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，建立“空间斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”如下图所示．

①若 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2-2】(2024·高二·四川绵阳·阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标： SKIPIF 1 < 0 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴( SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴)正方向的单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与有序实数组 SKIPIF 1 < 0 相对应，称向量 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐标；
(2)在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，N为线段D1C1的中点．如图，以 SKIPIF 1 < 0 为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐标；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
【变式2-1】(2024·高二·山东潍坊·期中)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 SKIPIF 1 < 0 ，我们将这种坐标系称为“斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”下向量的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标： SKIPIF 1 < 0 分别为“斜 SKIPIF 1 < 0 坐标系”下三条数轴( SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴)正方向的单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与有序实数组 SKIPIF 1 < 0 相对应，称向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标；
(2)在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为基底建立“空间斜60°坐标系”．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
【变式2-2】(2024·高二·江苏常州·期中)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标： SKIPIF 1 < 0 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴､y轴､z轴)正方向的单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐标为[x，y，z]，记作 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐标；
(2)在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，AB=AD=2，AA1=3， SKIPIF 1 < 0 ，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐标；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
题型三：结合解析几何距离新定义
【典例3-1】(2024·高二·北京·期中)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 SKIPIF 1 < 0 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 SKIPIF 1 < 0 表示，又称“曼哈顿距离”，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
(1)①点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【典例3-2】(2024·高三·上海青浦·开学考试)我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C的距离，记作 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是长为2的线段，求点集 SKIPIF 1 < 0 所表示图形的面积.
【变式3-1】(2024·江苏南通·二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线l与Γ相切，与圆O： SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(ⅰ)若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均存在，记两者中的较大者为 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均存在，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3-2】(2024·高二·山东青岛·期中)中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在 SKIPIF 1 < 0 平面上，我们把与定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 距离之积等于 SKIPIF 1 < 0 的动点的轨迹称为伯努利双纽线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线 SKIPIF 1 < 0 是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
【变式3-3】(2024·高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，对于直线 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直线l分离，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．
(1)求证：点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 分隔；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的分隔线，求实数k的取值范围；
(3)动点M到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
题型四：空间直线方程
【典例4-1】(2024·高二·宁夏银川·期中)在空间直角坐标系中，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积
(2)用求轨迹方程的思想方法，试求在空间直角坐标系中，以 SKIPIF 1 < 0 为方向向量，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程
【典例4-2】(2024·高二·浙江台州·期末)我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．如点 SKIPIF 1 < 0 在直线l上， SKIPIF 1 < 0 为直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即为直线l的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面．
(1)若在空间直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ，请利用平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量求出平面 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)试写出平面 SKIPIF 1 < 0 (A，B，C不同时为0)的一个法向量(无需证明)，并证明点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五：空间平面方程
【典例5-1】(2024·高二·上海杨浦·期中)在平面直角坐标系内，我们知道ax＋by＋c＝0(a、b不全为0)是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax＋by＋cz＋d＝0(a、b、c不全为0)为平面的一般式方程．
(1)求由点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 确定的平面的一般式方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 为平面ax＋by＋cz＋d＝0(a、b、c不全为0)的一个法向量；
(3)若平面 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程为ax＋by＋cz＋d＝0(a、b、c不全为0)， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 外一点，求点P到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【典例5-2】(2024·高二·湖南·课时练习)阅读“多知道一点：平面方程”，并解答下列问题：
(1)建立空间直角坐标系，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点，而 SKIPIF 1 < 0 是空间任意一点，求A，B，C，P四点共面的充要条件．
(2)试求过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平面ABC的方程，其中a，b，c都不等于0．
(3)已知平面 SKIPIF 1 < 0 有法向量 SKIPIF 1 < 0 ，并且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(4)已知平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量．
(5)①求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
②求证：点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，并将这个公式与“平面解析几何初步”中介绍的点到直线的距离公式进行比较．
题型六：立体几何与解析几何结合新定义
【典例6-1】(2024·高三·浙江宁波·期末)已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面 SKIPIF 1 < 0 )与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面 SKIPIF 1 < 0 )互相垂直．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积，
②若 SKIPIF 1 < 0 ，异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
③是否存在 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，使得 SKIPIF 1 < 0 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【典例6-2】(2024·高二·山东青岛·阶段练习)学习几何体结构素描是学习素描的重要一步.如图所示，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱 SKIPIF 1 < 0 和一个正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 穿插而成的对称组合体.棱 SKIPIF 1 < 0 和面 SKIPIF 1 < 0 与圆柱侧而相切，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 与圆柱侧而的切点.直线 SKIPIF 1 < 0 分别与面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 上分别截得椭圆 SKIPIF 1 < 0 .在平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上分别有两组不重合的两点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 (图中未画出).且满足关系 SKIPIF 1 < 0 .已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，请问平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 上是否分别存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得对于满足 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .若存在，试求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值：若不存在，请说明理由.
【变式6-1】(2024·高三·浙江杭州·阶段练习)如图， SKIPIF 1 < 0 为圆柱 SKIPIF 1 < 0 的一条母线，且 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 且不与圆柱底面平行的平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，轴 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 截圆柱的侧面得到一条闭合截线，截线与平面 SKIPIF 1 < 0 的另一交点为 SKIPIF 1 < 0 .已知该截线为一椭圆，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为其长轴和短轴， SKIPIF 1 < 0 为其中心. SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在上底面内的射影.记椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值.
【变式6-2】(2024·安徽合肥·模拟预测)已知顶点为S的圆锥面(以下简称圆锥S)与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角(圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， SKIPIF 1 < 0 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
题型七：解析几何概念新定义
【典例7-1】(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，重新定义两点 SKIPIF 1 < 0 之间的“距离”为 SKIPIF 1 < 0 ，我们把到两定点 SKIPIF 1 < 0 的“距离”之和为常数 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值．
【典例7-2】(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 SKIPIF 1 < 0 表示过点 SKIPIF 1 < 0 的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 SKIPIF 1 < 0 是直线族 SKIPIF 1 < 0 的包络曲线，求 SKIPIF 1 < 0 满足的关系式；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 不在直线族： SKIPIF 1 < 0 的任意一条直线上，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围和直线族 SKIPIF 1 < 0 的包络曲线 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在(2)的条件下，过曲线 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 两点作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，其交点为 SKIPIF 1 < 0 .已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，探究 SKIPIF 1 < 0 是否成立？请说明理由.
【过关测试】
1．(2024·高三·江苏·开学考试)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，若在曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 (λ为非零的正实数)代替 SKIPIF 1 < 0 得到曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，则称曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于原点“伸缩”，变换 SKIPIF 1 < 0 称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
(1)已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，伸缩比 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)射线l的方程 SKIPIF 1 < 0 ，如果椭圆 SKIPIF 1 < 0 经“伸缩变换”后得到椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若射线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)对抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，作变换 SKIPIF 1 < 0 ，得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ；对 SKIPIF 1 < 0 作变换 SKIPIF 1 < 0 ，得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ；如此进行下去，对抛物线 SKIPIF 1 < 0 作变换 SKIPIF 1 < 0 ， 得抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，…．若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
2．(2024·高二·贵州贵阳·期末)阅读材料：在平面直角坐标系中，若点 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 的距离和它到定直线 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )的距离之比是常数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则得到方程 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 称为相应于焦点 SKIPIF 1 < 0 的准线；定点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的另一个焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 称为相应于焦点 SKIPIF 1 < 0 的准线.
根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的右焦点，椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.
结合阅读材料回答下面的问题：
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是该椭圆上第一象限的点，且 SKIPIF 1 < 0 轴，若直线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆右准线方程，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为8.
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 也在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 的重心为 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由.
3．(2024·高三·上海黄浦·开学考试)定义：若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 SKIPIF 1 < 0 .已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)求“共轭点对” SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 所在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，(2)中的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于两点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点的纵坐标大于0，设四点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上逆时针排列.证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积小于 SKIPIF 1 < 0 .
4．(2024·高三·贵州·开学考试)定义：若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 SKIPIF 1 < 0 ．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求“共轭点对” SKIPIF 1 < 0 中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，(1)中的直线l与椭圆C交于两点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标；
②设四点 SKIPIF 1 < 0 ，P， SKIPIF 1 < 0 ，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积小于 SKIPIF 1 < 0 ．
5．(2024·高二·湖南·阶段练习)已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“ SKIPIF 1 < 0 椭圆群”．
(1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；
(2)若“ SKIPIF 1 < 0 椭圆群”中的两个椭圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 对应的t分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为“和谐椭圆对”．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为“和谐椭圆对”，P是 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 的切线交 SKIPIF 1 < 0 于A、B两点，Q为 SKIPIF 1 < 0 上异于A、B的任意一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由．
6．(2024·高三·上海虹口·阶段练习)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，l过点 SKIPIF 1 < 0 ，求l的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，l与 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点A、B，Q为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义 SKIPIF 1 < 0 .用a、b、k、m表示 SKIPIF 1 < 0 ，并利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系，提出一个关于l与 SKIPIF 1 < 0 位置关系的真命题，给出该命题的证明.
7．(2024·高二·上海青浦·期末)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，对于点 SKIPIF 1 < 0 、直线 SKIPIF 1 < 0 ，我们称 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的方向距离.
(1)设双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 、到直线 SKIPIF 1 < 0 的方向距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，试问是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立？说明理由；
(3)已知直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的方向距离分别为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 、与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，试比较 SKIPIF 1 < 0 的长与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
8．(2024·高二·北京·期中)已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，以下命题正确的有__________(不需证明)：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明 SKIPIF 1 < 0 中任意三点 SKIPIF 1 < 0 满足关系 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .求满足 SKIPIF 1 < 0 点的个数 SKIPIF 1 < 0 ，并证明从这 SKIPIF 1 < 0 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 SKIPIF 1 < 0 .
9．(2024·高二·广东东莞·期中)(1)在空间直角坐标系中，已知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 是平面内 SKIPIF 1 < 0 任意一点.求证： SKIPIF 1 < 0 .
(2)我们称(1)中结论 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的点法式方程，若平面 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 的点法式方程.
10．(2024·高一·福建泉州·期末)球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过任意两点的大圆上的劣弧 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所组成的图形称为球面 SKIPIF 1 < 0 ，记其面积为 SKIPIF 1 < 0 .易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；若球面上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对径点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则球面 SKIPIF 1 < 0 与球面 SKIPIF 1 < 0 全等.如图2，已知球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面交成的锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，圆弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面､圆弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面交成的锐二面角的大小分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 .
(1)请写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，并猜测函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 (用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示).
11．(2024·高一·四川成都·期末)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成的三面角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时，证明以上三面角余弦定理；
(2)如图2，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①求 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
②在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，说明理由．
12．(2024·全国·模拟预测)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为轴将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别向上翻转 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点重合为点 SKIPIF 1 < 0 所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 SKIPIF 1 < 0 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示)．
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 SKIPIF 1 < 0 的曲率的余弦值．
13．(2024·高三·全国·专题练习)设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中Qi(i＝1，2，…，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
(1)如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1， SKIPIF 1 < 0 ，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
(2)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？(确定“区域α”还是“区域β”)
14．(2024·高二·上海浦东新·期末)(1)如图，对于任一给定的四面体 SKIPIF 1 < 0 ，找出依次排列的四个相互平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
(2)给定依次排列的四个相互平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点满足： SKIPIF 1 < 0 ，求该正四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积．
15．(2024·高三·上海徐汇·期末)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义一种运算： SKIPIF 1 < 0 ，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是一个平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)试计算 SKIPIF 1 < 0 的绝对值的值，并求证 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积，说明 SKIPIF 1 < 0 的绝对值的值与四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的关系，并由此猜想向量这一运算 SKIPIF 1 < 0 的绝对值的几何意义.
16．(2024·高二·上海·期末)类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面(含平面) SKIPIF 1 < 0 的方程，若曲面 SKIPIF 1 < 0 和三元方程 SKIPIF 1 < 0 之间满足：①曲面 SKIPIF 1 < 0 上任意一点的坐标均为三元方程 SKIPIF 1 < 0 的解；②以三元方程 SKIPIF 1 < 0 的任意解 SKIPIF 1 < 0 为坐标的点均在曲面 SKIPIF 1 < 0 上，则称曲面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的曲面为 SKIPIF 1 < 0 ．已知曲面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出坐标平面 SKIPIF 1 < 0 的方程(无需说明理由)，指出 SKIPIF 1 < 0 平面截曲面 SKIPIF 1 < 0 所得交线是什么曲线，说明理由；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 过曲面 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为方向量，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 在曲面 SKIPIF 1 < 0 上(即 SKIPIF 1 < 0 上任意一点均在曲面 SKIPIF 1 < 0 上)；
(3)已知曲面 SKIPIF 1 < 0 可视为平面 SKIPIF 1 < 0 中某双曲线的一支绕 SKIPIF 1 < 0 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 SKIPIF 1 < 0 上．设直线 SKIPIF 1 < 0 在曲面 SKIPIF 1 < 0 上，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
17．(2024·高二·湖北黄石·期中)(1)写出点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不全为零)的距离公式;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 不在直线l上，证明 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离公式.
(3)在空间解析几何中，若平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不全为零)，点 SKIPIF 1 < 0 ，试写出点P到面 SKIPIF 1 < 0 的距离公式(不要求证明)
18．(2024·山东日照·一模)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为8．将平面 SKIPIF 1 < 0 沿x轴向上折叠，使二面角 SKIPIF 1 < 0 为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得折叠后 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
19．(2024·高二·广东广州·阶段练习)如图，空间直角坐标系中，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q： SKIPIF 1 < 0 经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 平面OABC，侧棱OP与底面所成角为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求m的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，写出M、N两点之间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)是否存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．