2025高考数学二轮专题复习-函数的奇偶性、周期性、对称性-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学二轮专题复习-函数的奇偶性、周期性、对称性-专项训练【含答案】，共89页。试卷主要包含了最新真题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc536005430" 一、重难点题型归纳 PAGEREF _Tc536005430 \h 1
\l "_Tc2096846492" 题型1利用函数性质解不等式 PAGEREF _Tc2096846492 \h 1
\l "_Tc1492343774" 题型3构造奇偶函数求函数值 PAGEREF _Tc1492343774 \h 3
\l "_Tc1360296305" 题型4对称性、奇偶性的运用 PAGEREF _Tc1360296305 \h 4
\l "_Tc389092173" ◆类型1对称轴 PAGEREF _Tc389092173 \h 5
\l "_Tc384446496" ◆类型2中心对称+轴对称构造周期性 PAGEREF _Tc384446496 \h 6
\l "_Tc1761448096" ◆类型3“类”周期函数 PAGEREF _Tc1761448096 \h 7
\l "_Tc1596075577" ◆类型4对称性解决恒成立 PAGEREF _Tc1596075577 \h 8
\l "_Tc1023987962" 题型5三角函数中的对称性问题 PAGEREF _Tc1023987962 \h 9
\l "_Tc231730276" 题型6复杂奇函数问题 PAGEREF _Tc231730276 \h 11
\l "_Tc1302896721" 题型7函数的旋转问题 PAGEREF _Tc1302896721 \h 12
\l "_Tc2041925035" 题型8两个函数的对称问题 PAGEREF _Tc2041925035 \h 13
\l "_Tc1845384185" 二、最新真题、模考题组练 PAGEREF _Tc1845384185 \h 14
题型1利用函数性质解不等式
【例题1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）定义在上的可导函数f（x）满足，且在上有若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】3.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】4.（2024·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设是定义在R上的偶函数，且当时， .若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】5.（2024·湖南邵阳·统考三模）已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ．
题型2利用奇偶性、周期性对称性求值
【例题2】（2022·全国·高三阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，，若对任意，都有，对任意且，都有，则 ．
【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】2.（多选）（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．为奇函数
C．函数有个不同的零点D．
【变式2-1】3.（2023·浙江温州·模拟预测）定义在R上的函数满足，，若，则 ， ．
题型3构造奇偶函数求函数值
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．2C．5D．7
【变式3-1】2.（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，若，则（ ）
A．B．2C．5D．7
【变式3-1】3.（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数，则在上的最大值与最小值之和为 ．
【变式3-1】4.（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数，若，则 ．
【变式3-1】5.若函数（）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数的值为 ．
题型4对称性、奇偶性的运用
◆类型1对称轴
【例题4-1】（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】1.已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A． B． C． D．或
【变式4-1】2.已知函数满足，若函数与的图像的交点为，，…，，且，则
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域为，且其图象有对称轴；
④对于任意的，（是函数的导函数）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
◆类型2中心对称+轴对称构造周期性
【例题4-2】已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．
【变式4-2】1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【变式4-2】2.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】4.(多选)（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
◆类型3“类”周期函数
【例题4-3】设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．以上正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-3】1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
◆类型4对称性解决恒成立
【例题4-4】已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-4】1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是 ．
题型5三角函数中的对称性问题
【例题5】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】1.（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
【变式5-1】2.已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则
A． B． C． D．
【变式5-1】3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型6复杂奇函数问题
【例题6】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心 .
【变式6-1】2.设函数，若，满足不等式，则当时，
的最大值为
A．B．C．D．
【变式6-1】3.已知函数，若 ，其中，则的最小值为
A．B．C．D．
题型7函数的旋转问题
【例题7】（2024•青岛开学）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】1.（2024春•池州期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是
A．B．1C．D．0
【变式7-1】2.（2024春•新华区校级期末）将函数图像绕点（1,0）顺时针旋转角得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式7-1】3.（2024•沈河区校级四模）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】4.（多选）（2024•雨花区校级模拟）已知函数，，且，函数，的图象绕坐标原点顺时针旋转所得新的函数图象与原函数图象重合，其中可以取任意正整数，则的值不可能为（ ）
A．0B．C．D．
题型8两个函数的对称问题
【例题8】（2024•武侯区校级模拟）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】1.（2024春•海淀区校级期末）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【变式8-1】2.（2024•云南模拟）已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ．
【变式8-1】3.（2024春•大同期中）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 .
【变式8-1】4.（2024•景德镇模拟）对于定义域为的函数，若满足（1）；（2）当，且时，都有 ；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；②；③；④，则“偏对称函数”有 个．
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．(多选)（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
4．(多选)（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若有三个不同的根，则实数m的取值范围为 ．
7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
为偶函数，若对任意有，且，则 .
参考答案与试题解析
重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1720836808" 题型1利用函数性质解不等式 PAGEREF _Tc1720836808 \h 1
\l "_Tc1941957907" 题型2利用奇偶性、周期性对称性求值 PAGEREF _Tc1941957907 \h 7
\l "_Tc1030075843" 题型3构造奇偶函数求函数值 PAGEREF _Tc1030075843 \h 11
\l "_Tc1619014834" 题型4对称性、奇偶性的运用 PAGEREF _Tc1619014834 \h 14
\l "_Tc17023901" ◆类型1对称轴 PAGEREF _Tc17023901 \h 15
\l "_Tc505379056" ◆类型2中心对称+轴对称构造周期性 PAGEREF _Tc505379056 \h 19
\l "_Tc607970307" ◆类型3“类”周期函数 PAGEREF _Tc607970307 \h 24
\l "_Tc429757323" ◆类型4对称性解决恒成立 PAGEREF _Tc429757323 \h 28
\l "_Tc943822800" 题型5三角函数中的对称性问题 PAGEREF _Tc943822800 \h 33
\l "_Tc1515582858" 题型6复杂奇函数问题 PAGEREF _Tc1515582858 \h 38
\l "_Tc1097557339" 题型7函数的旋转问题 PAGEREF _Tc1097557339 \h 42
\l "_Tc1909152490" 题型8两个函数的对称问题 PAGEREF _Tc1909152490 \h 46
题型1利用函数性质解不等式
【例题1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，则可得为偶函数，且在单调递增，所以的图象关于直线对称，在单调递增，则将转化为，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】设，
因为，
所以为偶函数，
所以的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，
设，则，
令，则，得，
所以在上递增，
因为函数在定义域上单调递增，
所以在单调递增，
所以在单调递增，
因为，
所以，
所以，化简得，解得．
所以实数a的取值范围为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出的图象关于直线对称，在单调递增，从而可求解不等式.
【变式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）定义在上的可导函数f（x）满足，且在上有若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数法的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.
【详解】由，得.
令，则，即为偶函数.
又时，.
所以在上单调递减.
由，得，即.
又为偶函数，
所以，
所以，即，解得，
所以a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.
【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，发现为奇函数，然后是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，可得的对称中心为，能得到，通过求导可发现在R上单调递增，继而求解不等式
【详解】解：假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，
由求导得
因为，当且仅当即，取等号，
所以所以在R上单调递增，
因为得
所以，解得，
故选：B
【变式1-1】3.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增，当时，单调递减，把不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，
令，则，可得，
可得，
所以为偶函数，即函数的图象关于对称，
又由，令，
可得，所以为单调递增函数，且，
当时，，单调递增，即时，单调递增；
当时，，单调递减，即时，单调递减，
由不等式，可得，即
所以不等式恒成立，即恒成立，
所以的解集为，所以且，
解得，结合选项，可得BC适合.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设，从而得到，证明其为偶函数，则得到的图象关于对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.
【变式1-1】4.（2024·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设是定义在R上的偶函数，且当时， .若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用指数的运算性质易得时，进而根据偶函数的性质和函数在上的单调性，将不等式很成立问题转化对任意的恒成立，若，易于得出矛盾，在时利用不等式恒成立的意义不难求得的最大值.
【详解】当时，
若对任意的，均有即为，
由于,当时，为单调递增函数，
又∵函数为偶函数，
∴等价于，即（∵）,
由区间的定义可知,若，于是,即，
由于的最大值为，故显然不可能恒成立；
,即,∴,即,
故的最大值为,
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及指数函数，函数的奇偶性，分类讨论思想，关键是时，化归为，再利用偶函数和单调性转化为对任意的恒成立，注意对的符号的分类讨论.
【变式1-1】5.（2024·湖南邵阳·统考三模）已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在上的单调性即可转化为，然后求得的范围.
【详解】因为为R上偶函数，则，
所以，
所以，即，
因为为上的减函数，，所以，
解得，所以，的范围为.
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；
（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
2.偶函数的性质：；奇函数性质：；
3.若在D上为增函数，对于任意，都有；
若在D上为减函数，对于任意，都有.
题型2利用奇偶性、周期性对称性求值
【例题2】（2022·全国·高三阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，，若对任意，都有，对任意且，都有，则 ．
【答案】2
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，再利用性质计算作答.
【详解】因函数是R上的偶函数，且任意，都有，
则当时，，即，有，
则是以6为周期的周期函数，，
又函数是R上的偶函数，且任意且，都有，
则对，函数是以4为周期的周期函数，
，所以.
故答案为：2
【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用是偶函数、周期为4，得关于对称， 是的对称轴，即是的极值点，从而，可得答案.
【详解】的定义域为，由可知，是偶函数，
由可知，周期为4，
因为，故关于轴对称，
又因为，所以也是的对称轴，
因为在上存在导函数，
所以是的极值点，
即，曲线在点处的切线斜率为0，
故切线方程可能为.
故选：B.
【变式2-1】2.（多选）（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．为奇函数
C．函数有个不同的零点D．
【答案】ABC
【分析】根据函数关系式可推导得到关于直线和点对称，且周期为；令，，由奇偶性定义可得的奇偶性，知AB正确；作出和的图象，根据图象可得两函数交点个数，进而确定函数零点个数，知C正确；根据周期性可求得，知D错误.
【详解】，，且关于直线对称；
又，，且关于中心对称；
，，
则是周期为的周期函数；
对于A，令，则，
为偶函数，A正确；
对于B，令，则，
为奇函数，B正确；
对于C，作出和的图象如下图所示，
当时，，又，
由图象可知：与共有个不同的交点，
则有个不同的零点，C正确；
对于D，，
，D错误.
故选：ABC.
【变式2-1】3.（2023·浙江温州·模拟预测）定义在R上的函数满足，，若，则 ， ．
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由，可得，即可求出，从而得到且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得.
【详解】解：因为，所以，
所以，则，
所以是以为周期的周期函数，
所以，又，所以，
又，所以，
即且，
由，所以，，，
所以
.
故答案为：；
题型3构造奇偶函数求函数值
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】设，，证明函数为奇函数，则有，从而可得出答案.
【详解】解：设，，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．2C．5D．7
【答案】C
【分析】令，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
【变式3-1】2.（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，若，则（ ）
A．B．2C．5D．7
【答案】C
【分析】设，再利用函数的奇偶性求解即可
【详解】设，
则，
故，即，
所以.
故，
因为，所以.
故选：C
【变式3-1】3.（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数，则在上的最大值与最小值之和为 ．
【答案】
【分析】把的图象向上平移3个单位长度，可得函数的图象，可证得为奇函数，在上的最大值与最小值之和为0，从而得出答案．
【详解】由题意，得，
把的图象向上平移3个单位长度，可得函数的图象．
当时，，即为奇函数，
则在上的最大值与最小值之和为0，
故在上的最大值与最小值之和为．
故答案为：．
【变式3-1】4.（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得.
【详解】令，
，，
为上的奇函数；
，，即，
解得：.
故答案为：.
【变式3-1】5.若函数（）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数的值为 ．
【答案】2
【详解】试题分析：由题意，，显然函数是奇函数，∵函数最大值为，最小值为，且，∴-t=-(N-t)，即2t=，∴t=2，故答案为2．
考点：函数的最值及其几何意义.
题型4对称性、奇偶性的运用
◆类型1对称轴
【例题4-1】（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数对称性求和即可．
【详解】解：当时，，
∴ 对称轴为，
为奇函数，
，
，
关于中心对称，
设为图像上任意一点，
则在上，
，
即，
对称轴为．
作出图像如下：
由图像知有4个根，
不妨设，
由二次函数的对称性知
，
，
∴ 所有根的和为．
故选：A．
【变式4-1】1.已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】函数有有唯一零点，设
则函数有唯一零点，则 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A．
【变式4-1】2.已知函数满足，若函数与的图像的交点为，，…，，且，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．
【详解】∵f（x）=f（a-x），
∴f（x）的图象关于直线x=对称，
又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，
当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，
∴x1+x2+x3+…+xm=•a=2m，解得a=4．
当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上，
∴x1+x2+x3+…+xm=a•+=2m．
解得a=4．
故选D．
【点睛】本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力．
【变式4-1】3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域为，且其图象有对称轴；
④对于任意的，（是函数的导函数）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
【答案】A
【详解】函数定义域为，当或时，，又，，，，……时，，且均为变号零点.又因为函数满足，所以函数关于直线对称，函数图像如下图，
故②③正确.
点睛：本题考查函数的综合知识：
①函数对于定义域内任意实数，存在非零常数，满足，则函数为周期函数；
②函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
③在函数定义域内，存在常数使得，则叫做函数的零点.
◆类型2中心对称+轴对称构造周期性
【例题4-2】已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，.若函数在区间上的所有零点之和为__________．
【答案】5
【详解】∵足，∴，又因函数为偶函数，∴，即，∴，令，，，即求与交点横坐标之和.，
作出图象：
由图象可知有10个交点，并且关于中心对称，∴其和为故答案为：5
【变式4-2】1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【解析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数可得出在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有6个实数根，和为30.
【详解】由知函数的图象关于直线对称，
∵，是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴的周期为4，
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
方程在上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数，
在和上，
则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有6个实数根之和为.
故选：A.
【点睛】本题考查了由可判断关于对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题.
【变式4-2】2.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的图像关于原点对称，得出，再由得出函数的最小正周期为，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数的最小正周期为，由此可得选项.
【详解】因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以，
因为，，两式相减可得，，故，故；
因为，故所求切线方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.
【变式4-2】3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，函数的周期，再由当时，
可知函数在上为增函数，然后计算比较即可.
【详解】函数是上的奇函数，又为偶函数，
，，
，即函数的周期，
时，，，
即，函数在上为增函数，
，，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
【变式4-2】4.(多选)（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件，即得结果.对于选项B，由题意可推导出为偶函数，为奇函数，所以，即即可证明；对于选项C，由关于对称和关于对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论和已知条件，由等差数列的前项和即得结果.
【详解】因为可得为偶函数，所以，则为奇函数，故A正确；
因为，偶函数，时偶函数，
所以为偶函数，所以关于对称，
因为，为奇函数，为奇函数，
所以为奇函数，关于对称，
，
则其中为常数，又故，有关于对称，B正确；
令等价于，，所以，
因为关于对称，所以，
所以令等价于，所以，所以，
故可看成数列，
而因为关于对称，所以，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
所以没有周期性，故C不正确；
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
◆类型3“类”周期函数
【例题4-3】设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.
【详解】
解：①∵“似周期函数”的“似周期”为，
，，
故它是周期为2的周期函数，故①正确；
②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，
即恒成立，故成立，但无解，故②错误；
③若函数是“似周期函数”， 则存在非零常数，则，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，
故，故或，故③正确．
所以以上正确结论的个数是2.故选：C.
【变式4-3】1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
【变式4-3】2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
【点睛】
易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
【变式4-3】3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，在区间上，，作函数的图象，如图所示，然后结合图像可求出的最小值
【详解】根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：D.
【点睛】此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
◆类型4对称性解决恒成立
【例题4-4】已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.
【详解】
的定义域为，
，∴为奇函数，
又在上单调递增，
∴，∴，
又，则，，∴恒成立；
设，
则，当时，
∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，
∴，，故选：B.
【变式4-4】1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.
【详解】对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
当时， ，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
，
，方程无解
当时，， 在上单调递减，的值域为
的值域为：，
，解得
当时，，显然不满足题意.
综上，实数的取值范围为
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.
【变式4-4】2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围.
【详解】当时，，
函数在上单调递减，且是R上的增函数，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且；
当时，，易知函数在上单调递减，且.
∴函数在上单调递减.
∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数，
∴不等式可化为，
∴恒成立，
即，整理得，
令，
∴对任意的，恒成立，
∴，
即，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于较难题.
【变式4-4】3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】先分析题意即，再利用单调性求解的最小值和的最小值，解不等式即得结果.
【详解】依题意，对于，使得，只需.
时，，，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减.
而函数，显然在单调递减.
故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.
对于，，
当时，故是单调递减的，
当时，故是单调递增的，
故.
故依题意知，，即.
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
题型5三角函数中的对称性问题
【例题5】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.
【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，
由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，
由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，
由，当时，，
故选：B.
【变式5-1】1.（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
【答案】B
【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案.
【详解】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，
，其图象关于直线对称，
故可作出函数函数，得图象如图：
由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，
在每个周期内和的图象都有2个交点，
则共有2024个交点，
根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，
且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，
故这4048个交点的横坐标之和为，
而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，
故与的图象所有交点的横坐标之和为，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.
【变式5-1】2.已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0，1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以 ，选B.
【变式5-1】3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.
【详解】由题设，令，
∴，
∴为奇函数，又，即为增函数，
∵，即，
∴，则，
∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，
∴，即 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造并证明其奇偶性、单调性，结合题设不等式可将问题转化为对任意均成立.
题型6复杂奇函数问题
【例题6】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
，
令，则，可得是奇函数，
又，
又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；
当且仅当，即时等号成立；
故，可得是单调增函数，
由得，
即，即对恒成立.
当时显然成立；当时，需，得，
综上可得，故选：D.
【变式6-1】1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心 .
【答案】
【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.
【详解】解：因为，
由于
.
即，.
所以是的一个对称中心.
故答案为：.
【变式6-1】2.设函数，若，满足不等式，则当时，
的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此
,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.
点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.
【变式6-1】3.已知函数，若 ，其中，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以
，
令
则所以
所以，所以，其中，则.
当时
当且仅当 即 时等号成立；
当时
，
当且仅当 即 时等号成立；
因为，所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
题型7函数的旋转问题
【例题7】（2024•青岛开学）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先画出函数的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，求出此角即可．
【详解】解：由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故选：B.
【变式7-1】1.（2024春•池州期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是
A．B．1C．D．0
【答案】B
【分析】直接利用定义和函数的应用求出结果．
【详解】解：由题意可得：
问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，
旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，，，，不满足函数定义；
故选．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题
【变式7-1】2.（2024春•新华区校级期末）将函数图像绕点（1,0）顺时针旋转角得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题设可知曲线C仍是一个函数的图像等价于函数图像C上每一点出的切线存在．函数的图像顺时针旋转，先从点旋转，由于，因此函数在点处的导函数值存在，且，故依据题设条件可知该曲线旋转的最大角为，应选答案B．
点睛：解答本题的难点在于如何理解旋转后的图像是函数．依据函数的定义可知当函数的图像上的每一点处的切线存在时，旋转后的图像是函数．因此在解答本题时，先考虑两个特殊点处的切线是否存在，考虑到点旋转起点，所以当点处的导函数值存在时，即为旋转角的最大值，从而求出最大旋转角使得问题获解．
【变式7-1】3.（2024•沈河区校级四模）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【分析】根据函数的定义，一个不能对应两个，对于这几个选项，分别作图分析，看有没有不符合函数定义的选项.
【详解】
如上图所示，分别是绕着原点逆时针方向旋转，，，，所得到的的曲线，根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
【变式7-1】4.（多选）（2024•雨花区校级模拟）已知函数，，且，函数，的图象绕坐标原点顺时针旋转所得新的函数图象与原函数图象重合，其中可以取任意正整数，则的值不可能为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】AC
【分析】对选项A:设，即必过.由题意，将顺时针旋转，，，，，，后仍在函数图象上，根据函数概念分析可得A选项不可能对.对选项B，C，D同理分析可解.
【详解】解：若，则通过连续顺时针旋转，依次可得，，，，，此时对应，不符合函数概念，所以A选项不可能对，同理C选项也不可能对，而BD有可能成立.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：由旋转后的函数图象与原函数图象重合，则点顺时针旋转，，，，，，后仍在函数图象上.
题型8两个函数的对称问题
【例题8】（2024•武侯区校级模拟）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点转化为有两解，令新的函数，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得的取值范围.
【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用
【变式8-1】1.（2024春•海淀区校级期末）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意得到=-+3lnx,这个方程由两个不同的根，变量分离得到，是导函数的根，函数在，故函数先减后增，且 ； 则使得两个函数y=a和g(x)有两个交点只需，
即.
故答案为A．
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【变式8-1】2.（2024•云南模拟）已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意转化成在上有零点，通过构造函数，利用导数求函数的最值，再结合函数有零点，列式求实数m的取值范围.
【详解】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，
等价于在上有零点，
令
则，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则，又，
，
，
因，
又，
则，
所以①
②
解得．
故答案为:
【变式8-1】3.（2024春•大同期中）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数关于y轴对称的函数为，方程有解，方程可化为，构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值，转化求解a的范围即可．
【详解】解：关于轴对称的函数为，若函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，只需要方程有解，方程可化为，令，有，由函数单调递增，且，可得函数的减区间为，增区间为，可得，当时，，，，可得函数的值域为，故实数的取值范围为.
故答案为：
【变式8-1】4.（2024•景德镇模拟）对于定义域为的函数，若满足（1）；（2）当，且时，都有 ；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；②；③；④，则“偏对称函数”有 个．
【答案】1
【分析】根据“偏对称函数”的定义，以及函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断满足题意的函数个数.
【详解】
由（2）可知，当时， ，当时， ，
故“偏对称函数”要满足在上单调递减，在上单调递增，
对①：因为，所以在上不单调，
故不满足条件（2），
所以不是“偏对称函数”；
对②：，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
故不满足条件（2），
所以不是“偏对称函数”；
对③：，，所以函数为偶函数，
取，，则，但，不满足条件（3），
故不满足条件（3），
所以不是“偏对称函数”；
对④：，，满足条件（1），
在上，为减函数，
在上，为增函数，满足条件（2），
令， 在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
当，且时，，
所以，
即，满足条件（3），
所以是“偏对称函数”.
综上所述：“偏对称函数”有1个．
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及利用导数研究函数的单调性，以及函数的对称性，属综合中档题；其中对④中函数是否满足条件（）的研究方法是本题的解题核心.
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
2．（2024·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
3．(多选)（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
4．(多选)（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
5．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若有三个不同的根，则实数m的取值范围为 ．
【答案】或．
【分析】由题意是方程的一个根，结合为奇函数知在有一个根，令，并应用导数研究函数性质，作出两函数的图象，平移的图象判断交点情况，即可得答案．
【详解】由题意是方程的一个根，又为奇函数，
当时有一个根，即有一个根，
令，，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，
而周期为2，且在上单调递减，在上单调递增，
将的图象向下平移2个单位，即时，符合题意，此时；

又在上，，
将的图象向上平移至少1个单位，也符合题意，此时，

所以实数m的取值范围为或．
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：将问题化为研究在有一个根，构造中间函数并利用导数研究函数性质，数形结合判断符合题设情况下参数范围即可.
7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
【答案】2525
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，则，即，
则，即，
故的图象关于点对称，且；
又为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
又将代入得，则；
令，由可得，则；
同理可得，则；，则，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故，
故答案为：2525
【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.
8．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则 .
【答案】9
【分析】导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可.
【详解】导函数为偶函数，
所以，
，为常数；
，
，即，
所以，即，
，
两式相减得：，故函数周期为2，
，
，
，
；
；
.
故答案为：9
1、对于任意，均有成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式
3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（）远，谁的函数值就小.
函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
对于本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.
函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
3.与关于直线对称.
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大.
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
1.三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.
2.三角函数的奇偶性
（1）函数是奇函数⇔（），是偶函数⇔（）；
（2）函数是奇函数⇔（），是偶函数⇔（）；
（3）函数是奇函数⇔（）．
3.三角函数的对称性
（1）函数的图象的对称轴由（）解得，对称中心的横坐标由（）解得；
（2）函数的图象的对称轴由（）解得，对称中心的横坐标由（）解得；
（3）函数的图象的对称中心由 ）解得．
4.基本规律
1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 .
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
1.若满足，则关于中心对称
①
②
③
3.
1、对于任意，均有成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式
3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（）远，谁的函数值就小.
函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
对于本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.
函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
3.与关于直线对称.
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大.
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
1.三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.
2.三角函数的奇偶性
（1）函数是奇函数⇔（），是偶函数⇔（）；
（2）函数是奇函数⇔（），是偶函数⇔（）；
（3）函数是奇函数⇔（）．
3.三角函数的对称性
（1）函数的图象的对称轴由（）解得，对称中心的横坐标由（）解得；
（2）函数的图象的对称轴由（）解得，对称中心的横坐标由（）解得；
（3）函数的图象的对称中心由 ）解得．
4.基本规律
1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 .
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
1.若满足，则关于中心对称
①
②
③
3.