2025高考数学二轮专题-概率-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学二轮专题-概率-专项训练【含答案】，共15页。试卷主要包含了下列图中，相关性系数最大的是，为了解推动出口后的亩收入等内容，欢迎下载使用。
1．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表：
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量中位数小于1050kg
B．100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3N2＝2N1B．2N2＝3N1
C．＝D．＝
4．下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A．B．
C．D．
二．多选题（共1小题）
（多选）5．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（ ）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）
A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5
C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8
三．填空题（共5小题）
6．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 ．
7．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 ．
8．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是 ．
9．A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到A的概率为 ；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 ．
10．某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
四．解答题（共6小题）
11．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列．
（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；
（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞．
12．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
（1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
（2）假设0＜p＜q，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
13．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：K2＝，
14．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：K2＝，
15．某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）
16．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．
（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：对于A，根据频率分布表知，6+12+18＝36＜50，所以100块稻田亩产量中位数不小于1050kg，选项A错误；
对于B，亩产量不低于1100kg的稻田频数为24+10＝34，所以亩产量低于1100kg的稻田所占比例为＝66%，选项B错误；
对于C，亩产量的极差最大值为1200﹣900＝300，最小值为1150﹣950＝200，所以极差介于200kg至300kg之间，选项C正确；
对于D，估计平均数为＝（6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175）＝1067，选项D错误．
故选：C．
2．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有＝24种可能，
丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有＝8种可能，
故P＝＝．
故选：B．
3．【解答】解：根据个体总数由N1变为N2可列式，
＝2.1，＝3.15，
所以2.1lnN1＝3.15lnN2，
约分可得2lnN1＝3lnN2，故＝，
所以＝．
故选：D．
4．【解答】解：由题意可知选项A的散点图可知，相关关系强，|r|越接近于1，相关程度越大；
所以A的相关性系数最大．
故选：A．
二．多选题（共1小题）
5．【解答】解：依题意，X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），
对于X～N（1.8，0.12），由于2＝1.8+2×0.1＝μ+2σ，
则P（X＞2）＝P（X＞μ+2σ）＜P（X＞μ+σ）＝1﹣0.8413＝0.1587，A错；
P（X＞2）＜P（X＞1.8）＝0.5，B对；
对于Y～N（2.1，0.12），由于2＝2.1﹣0.1＝μ﹣σ，
则P（Y＞2）＞P（Y＞2.1）＝0.5，C对；
P（Y＞2）＝P（Y＞μ﹣σ）＝P（Y＜μ+σ）＝0.8413＞0.8，D错．
故选：BC．
三．填空题（共5小题）
6．【解答】解：甲出1一定输，所以甲最多得3分，
若得3分，就只有一种组合1﹣8、3﹣2、5﹣4、7﹣6；
若得2分有三类，分别列举如下：
①出3和出5的赢，其余输：1﹣6，3﹣2，5﹣4，7﹣8；
②出3和出7的赢，其余输：1﹣4，3﹣2，5﹣8，7﹣6；1﹣8，3﹣2，5﹣6，7﹣4；1﹣6，3﹣2，5﹣8，7﹣4；
③出5和出7的赢，其余输：1﹣2，3﹣8，5﹣4，7﹣6；1﹣4，3﹣8，5﹣2，7﹣6；1﹣8，3﹣4，5﹣2，7﹣6；1﹣6，3﹣8，5﹣2，7﹣4；1﹣8，3﹣6，5﹣2，7﹣4；1﹣6，3﹣8，5﹣4，7﹣2；1﹣8，3﹣6，5﹣4，7﹣2；
共12种组合满足要求，而所有组合为种，
所以甲得分不小于2的概率为．
故答案为：．
7．【解答】解：在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
则共有＝24种选法，
每种选法可标记为{a，b，c，d}，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有可能的结果为：
（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），
（11，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，34，33，40），
（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），
（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40），
在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和最大的是（15，21，33，43），最大值是：
15+21+33+43＝112．
故答案为：24；112．
8．【解答】解：记前三个球的号码分别为a、b、c，则共有 种可能，
令 可得：|a+b﹣2c|≤3，
根据对称性：c＝1或6时，均有2种可能；
c＝2或5时，均有10种可能；
c＝3或4时，均有16种可能；
故满足条件的共有56种可能，
．
故答案为：．
9．【解答】解：设事件A表示“选到A”，事件B表示“选到B”，
则甲从中选3个．甲选到A的概率为P（A）＝＝，
P（AB）＝＝，
∴乙选了A活动，他再选择B活动的概率为：
P（B|A）＝＝＝．
故答案为：，．
10．【解答】解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，
故．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
11．【解答】解：（1）根据题意，可得当（i，j）取（1，2）时，可以分为a3，a4，a5，a6一组公差为d的等差数列，
当（i，j）取（1，6）时，可以分为a2，a3，a4，a5一组公差为d的等差数列，
当（i，j）取（5，6）时，可以分为a1，a2，a3，a4一组公差为d的等差数列，
所以（i，j）可以为（1，2），（1，6），（5，6）；
（2）证明：当m＝3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，
可以分为a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三组公差为3d的等差数列，
所以m＝3时符合题意；
当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m+2去掉a2和a13后，
前三组还按照m＝3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，
后面的每四个相邻的项分为一组，即a15，a16，a17，a18；...；a4m﹣1，a4m，a4m+1，a4m+2，
每一组都能构成等差数列，
所以数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）证明：设在给定m的情况下，（i，j）的组数为bm，
当m变成m+1时，数列就变成了a1，a2，a3，a4，a5，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6，
这里可以分成3组，前4个一组即{a1，a2，a3，a4}，中间的一组，后4个一组即{a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：
一、两个都在中间
中间有4m﹣2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为bm﹣1种；
二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组
第一组和中间组连起来，会变成4m+2个数的等差数列，这里面总共有bm种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有bm﹣bm﹣1种；
三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组
和上面一样，也是共有bm﹣bm﹣1种；
四、一个在第一组，一个在最后一组
此时，将a1，a4m+6同时删除是肯定可以的，这算一种；
然后，从（2）的结果来看，把a2，a4m+5同时删除也是可以的，因为m＝3成立之后，当m＞3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种．
综上，就会有bm+1≥bm﹣1+2（bm﹣bm﹣1）+2＝2bm﹣bm﹣1+2，
bm+1﹣bm﹣（bm﹣bm﹣1）≥2，
可得bm+1﹣bm≥2m+2，
即有b2﹣b1≥2×1+2，
b3﹣b2≥2×2+2，
……
bm﹣bm﹣1≥2（m﹣1）+2，
累加可得bm﹣b1≥2×（1+2+3+…+m﹣1）+2（m﹣1），
即bm≥m2+m+1，
因为b0＝0，b1＝3，所以bm≥m2+m+1，
如果你是随便删除，总共有＝8m2+6m+1种，
所以Pm＝≥＞．
12．【解答】解：（1）∵甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
∴甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
∴甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：
P＝（1﹣0.63） （1﹣0.53）＝0.686．
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：
P甲＝[1﹣（1﹣p）3]q3，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：
P乙＝[1﹣（1﹣q）3]•p3，
∴P甲﹣P乙＝q3﹣（q﹣pq）3﹣p3+（p﹣pq）3
＝（q﹣p）（q2+pq+p2）+（p﹣q）[（p﹣pq）2+（q﹣pq）2+（p﹣pq）（q﹣pq）]
＝（p﹣q）（3p2q2﹣3p2q﹣3pq2）
＝3pq（p﹣q）（pq﹣p﹣q）
＝3pq（p﹣q）[（1﹣p）（1﹣q）﹣1]＞0，
∴P甲＞P乙，
∴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
（ii）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P（X＝0）＝（1﹣p）3+[1﹣（1﹣p）3]•（1﹣q）3，
P（X＝5）＝[1﹣（1﹣p）3]，
P（X＝10）＝[1﹣（1﹣p）3]，
P（X＝15）＝[1﹣（1﹣p）3]•q3，
∴E（X）＝15[1﹣（1﹣p）3]q＝15（p3﹣3p2+3p）q，
记乙参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E（Y）＝15（q3﹣3q2+3q）p，
∴E（X）﹣E（Y）＝15[pq（p+q）（p﹣q）﹣3pq（p﹣q）]
＝15（p﹣q）pq（p+q﹣3）＞0，
∴为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
13．【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
零假设H0：根据α＝0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
X2＝＝4.6875＞3.841，
有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设H0：根据α＝0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
4.6875＜6.635，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得＝＝0.64，p+1.65＝0.5+1.65×≈0.57，
所以＞p+1.65，故有优化提升．
14．【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
零假设H0：根据α＝0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
X2＝＝4.6875＞3.841，
有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设H0：根据α＝0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
4.6875＜6.635，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得＝＝0.64，p+1.65＝0.5+1.65×≈0.57，
所以＞p+1.65，故有优化提升．
15．【解答】解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得；
（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由题可得，，
，，，
所以，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故E（X）＝0.4﹣0.278＝0.122（万元）；
（ii）由（i）知未赔偿的概率为，至少赔偿一次的概率为，
故保费的变化为，
设Y为保单下一保险期的毛利润，
故E（Y）＝0.122+0.4032﹣0.4＝0.1252（万元）．
所以E（X）＜E（Y）．
16．【解答】解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比，
该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为；
（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为
[0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+（3+40）+（1+27）]＝≈0.9h；
（3）由题意可得2×2列联表，
①提出零假设 H0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，
②确定显著性水平α＝0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，
③，
④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1050，1100）
[1100，1150）
[1150，1200）
生产数
6
12
18
30
24
10
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
索赔次数
0
1
2
3
4
保单份数
800
100
60
30
10
时间范围
[0，0.5）
[0.5，1）
[1，1.5）
[1.5，2）
[2，2.5）
学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
[1，2）
其他
总数
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485