吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（原卷及解析版）

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一．单选题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的并集定义计算即可.
【详解】因为集合，所以.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数的性质，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，，，所以，充分性满足，
，必要性也满足，因此是充要条件．
故选：C．
3. 图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案.
【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大，
且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减，
所以，故A满足.
故选：A
4. 函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由代入求解．
【详解】令，则，则，故定点为，
故选：D．
5. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，即，
，，
所以.
故选：D
6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数函数单调性知函数在区间上也是单调递增，结合对称轴可得，解之即可．
【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，
所以函数在区间上也是单调递增，
因为二次函数的对称轴为，
所以有，即.
故选：B.
7. 设是定义在上的函数，且对任意的恒成立，如图表示该函数在区间上的图象，则 =（ ）
A 0B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据周期函数的定义求值．
【详解】由图象知，，
又对任意的恒成立，是周期函数，3为它的周期，
拟，
故选：D．
8. 已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求函数的的值域，再根据的定义，即可求解.
【详解】，，
，，所以，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
所以的值域为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的新定义.
二．多选题（本题共3道小题，每小题6分，答对部分得部分分，答错0分，满分18分）
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.
【详解】对于A，定义域为，
当时，在上是增函数，
又，所以是偶函数，故A对；
对于B，由，定义域为R且为奇函数，不符合题意；故B错；
对于C，，所以是偶函数，在上是增函数，故C正确；
对于D，，所以是偶函数，在上是减函数，故D错.
故选：AC
10. 下列选项错误的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则
C. 已知x，y为正实数，则
D. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式的性质判断A（举特例），由指数与根式的运算性质判断B，由对数的运算性质判断C，由题设命题的否定为真命题，再转化为求函数最小值（使用勾形函数定义域求最小值）判断D．
【详解】A选项，当时，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，一般，如，
而，C错误；
D选项，若命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
所以，设，则，，
由勾形函数性质知在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以，D正确.
故选：AC．
11. 下列选项正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若函数满足，当时，，则
C. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是
D. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求出，即可判断A；根据对数的运算性质及函数关系计算即可判断B；
根据二次函数的性质判断C，函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值，即可判断D.
【详解】对于A：因为，所以，则，
所以，故A正确；
对于B：因为，
当时，，，
所以，故B正确；
对于C：若函数在上是单调函数，
则或，解得或，即实数的取值范围是，故C错误；
对于D：因为函数是上的增函数，
所以，解得，即实数的取值范围是，故D正确.
故选：ABD
三．填空题（本题共3道小题，每小题5分，满分15分）
12. 函数的定义域为 _________
【答案】
【解析】
【分析】由对数的真数大于0可得．
【详解】由题意，即，，
故答案为：．
13. 已知实数满足且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.
【详解】由可知，
所以，即，
所以.
故答案为：
14. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】由得，从而得在上是增函数，又确定是奇函数，然后利用奇函数性质变形不等式，再利用单调性求解．
【详解】对任意，都有,即，
设，则，
所以函数在上是增函数，
又是奇函数，则也是奇函数，(）,
所以在上递增，即在R上递增，
不等式化为，
即为，
，
所以，解得或．
故答案为：．
四．解答题（本题共5道题，满分77分）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）11
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算；
（2）利用对称的运算法则和换底公式计算．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式．
16. 已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若0