专题01 集合与常用逻辑用语-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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1、了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
2、能在自然语言和图形语言的基础上，用符号刻画集合；
3、了解全集与空集的含义；
4、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
5、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；
6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
7、能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算；
8、理解必要条件，充分条件，充要条件的意义；
9、理解全称量词与存在量词的意义；
基础知识梳理
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
5、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
考点精讲讲练
考点一：集合的含义与表示
【典型例题】
例题1．（2024湖南）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023广西）图中阴影区域所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023新疆）数集中的不能取的数值的集合是（ ）
A．B．C．D．
【即时演练】
1．下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号）
①；②；③；④．
考点二：集合间的基本关系
【典型例题】
例题1．（2023浙江）已知集合，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023湖北）设集合，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2023福建）已知全集为U，，则其图象为（ ）
A． B．
C． D．
【即时演练】
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．集合的真子集的个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
3．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（ ）
A．1B．C．D．
4．设集合，若，则（ ）
A．2B．1C．D．
考点三：集合的基本运算
【典型例题】
例题1．（2022河北）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024北京）已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024湖北）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【即时演练】
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ．
3．已知全集，集合，集合，
(1)求；
(2)求．
4．已知集合，求：
(1)；
(2)；
(3)．
考点四：充分条件与必要条件
【典型例题】
例题1．（2024湖南）已知，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2024浙江）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要
例题3．（2024北京）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【即时演练】
1．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．“x>0”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
4．（多选）下列式子中，可以是的充分条件的有（ ）
A．B．C．D．
考点五：全称量词与存在量词
【典型例题】
例题1．（2024北京）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024安徽）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2024湖南）下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【即时演练】
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
战能力训练
一、单选题
1．已知命题，则它的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知全集，集合，则下列元素属于的是（ ）
A．3B．4C．D．5
4．集合的真子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若集合，则（ ）
A．B．2
C．D．
7．已知集合，且都是全集的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
8．若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
10．已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（ ）
A．3B．C．3.5D．6
三、填空题
11．用列举法表示集合 .
12．已知集合，若，则实数
四、解答题
13．已知全集，集合，.
(1)求，；
(2)求.
14．已知集合，，.
(1)求，，；
(2)若，求实数的取值范围.目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26699" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc26699 \h 1
\l "_Tc4440" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc4440 \h 1
\l "_Tc30313" 考点精讲讲练 PAGEREF _Tc30313 \h 3
\l "_Tc10366" 考点一：集合的含义与表示 PAGEREF _Tc10366 \h 3
\l "_Tc10388" 考点二：集合间的基本关系 PAGEREF _Tc10388 \h 4
\l "_Tc30400" 考点三：集合的基本运算 PAGEREF _Tc30400 \h 5
\l "_Tc11424" 考点四：充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc11424 \h 6
\l "_Tc18120" 考点五：全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc18120 \h 7
实 \l "_Tc11816" 战能力训练 PAGEREF _Tc11816 \h 8
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或