专题04 指数函数与对数函数-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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1、了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2、了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3、能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
4、理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；
5、了解对数函数的概念；
6、能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；；
7、指导对数函数与指数函数互为反函数（且）
基础知识梳理
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
5、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
6、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
7、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
8、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
9、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
10、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
11、常见函数模型
（1）指数函数模型（且，）
（2）对数函数模型（且，）
12、指数、对数、幂函数模型性质比较
考点精讲讲练
考点一：指数
【典型例题】
例题1．（2022天津）已知，，则的值为（ ）
A．B．2C．8D．15
例题2．（多选）（2024浙江）下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023山西） ．
【即时演练】
1．已知，，化简： ．
2．若代数式有意义，则 ．
3．计算：
(1)；
(2)（，）.
考点二：指数函数的概念
【典型例题】
例题1．（2024安徽）若函数是指数函数，则有（ ）
A．B．
C．或D．，且
例题2．（2023新疆）设函数（且）， 满足.
(1)求的值；
(2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围．
例题3．（2022江苏）已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，.
(1)求的表达式；
(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【即时演练】
1．已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．2B．3C．D．4
2．已知指数函数，则的值为 .
3．已知函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若存在实数，使得成立，求的取值范围．
考点三：指数函数的图象和性质
【典型例题】
例题1．（2024北京）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024云南）函数的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例题3．（2024浙江）已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023海南）已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(3)若对于任意都有恒成立，求实数的取值范围
例题5．（2020贵州）已知定义在上的函数.
（1）写出的单调区间；
（2）已知，对所有，恒成立，求的取值范围.
【即时演练】
1．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象恒过定点，则点坐标为 .
4．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.
5．已知函数是定义在R上的奇函数．
(1)求的解析式；
(2)求当时，函数的值域．
考点四：对数
【典型例题】
例题1．（2024云南）已知.若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
例题2．（2024福建）若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024湖北）已知，则 .
例题4．（2021江苏）计算
【即时演练】
1．计算：（ ）
A．8B．C．D．
2．计算： .
3．计算： .
4．计算： ．
考点五：对数函数的概念
【典型例题】
例题1．（2024北京）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（2024浙江）若函数，则下列选项正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．图象过定点D．在定义域上单调递增
例题3．（2023云南）函数的定义域是 （用区间表示）
【即时演练】
1．若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若是奇函数，当时， ．
3．函数的定义域为 ．
考点六：对数函数的图象和性质
【典型例题】
例题1．（2024北京）在下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024湖北）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（2023吉林）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023辽宁）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求：
(1)时，的解析式；
(2)不等式的解集．
例题5．（2024湖北）已知函数，且.
(1)当时，判断函数的单调性，并加以证明；
(2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【即时演练】
1．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ．
4．函数的单调增区间为 ．
5．已知（，且），且．
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值．
考点七：不同函数增长差异
【典型例题】
例题1．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，增长速度一直快于
D．当时，增长速度有时快于
例题2．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
【即时演练】
1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）

A．指数函数B．对数函数y=lg2t
C．幂函数y=t3D．二次函数y=2t2
2．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，）

考点八：函数的零点与方程的解
【典型例题】
例题1．（2022河北）已知函数，若，且，则（ ）
A．B．C．D．或
例题2．（2024福建）已知x=1是函数的零点，则m为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求f1的值；
(2)求函数的零点．
例题4．（2024福建）已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
【即时演练】
1．若为函数的零点，则所在区间为（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
判断函数的零点个数至少有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知函数
(1)若a=2，当时，求函数的值域；
(2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
考点九：函数模型的应用
【典型例题】
例题1．（2024湖北）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024浙江）有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023甘肃）心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（ ）
A．0.021B．0.221C．0.461D．0.661
例题4．（2024广东）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元.
(1)请写出关于的函数解析式；
(2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费.
【即时演练】
1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（ ）
A．56.6米B．57.6米
C．58.6米D．59.6米
2．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ．
4．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中．
(1)求关于的函数解析式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？
实战能力训练
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设，下列计算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则.（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
5．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：

横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（ ）
A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一
B．注入时间恰为小时，不采用方案三
C．注入时间恰为小时，采用方案二
D．注入时间恰为10小时，采用方案二
二、多选题
9．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）
A．B．C．D．
10．下列运算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．函数的零点是 ．
12．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投 万元，获得总利润为 万元.
四、解答题
13．已知，
(1)求的值；
(2)用a，b表示.
14．计算下列各式的值：
(1)
(2)
15．已知函数（其中）
(1)当时，求函数的零点；
(2)讨论关于的不等式的解集.
16．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142万元.
(1)求：k的值；
(2)若每吨产品出厂价为48万元，求：引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大
17．已知函数，且.
(1)求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26934" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc26934 \h 1
\l "_Tc7852" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc7852 \h 1
\l "_Tc6171" 考点精讲讲练 PAGEREF _Tc6171 \h 5
\l "_Tc14474" 考点一：指数 PAGEREF _Tc14474 \h 5
\l "_Tc25204" 考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc25204 \h 6
\l "_Tc28354" 考点三：指数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc28354 \h 7
\l "_Tc26794" 考点四：对数 PAGEREF _Tc26794 \h 9
\l "_Tc10160" 考点五：对数函数的概念 PAGEREF _Tc10160 \h 10
\l "_Tc2258" 考点六：对数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc2258 \h 10
\l "_Tc23933" 考点七：不同函数增长差异 PAGEREF _Tc23933 \h 12
\l "_Tc16184" 考点八：函数的零点与方程的解 PAGEREF _Tc16184 \h 14
\l "_Tc25347" 考点九：函数模型的应用 PAGEREF _Tc25347 \h 15
\l "_Tc9247" 实战能力训练 PAGEREF _Tc9247 \h 17
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
函数
性质
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个，当时，有
1
2
3
4
5
6
136.1
15.6
10.9
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30