专题05 三角函数-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度制与角度制的互化
2、理解三角函数的定义，能画出三角函数的图象
3、了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。
4、理解正弦函数、余弦函数在上的性质，正切函数在上的性质
5、了解函数的实际意义；能借助图象理解参数的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响；
6、理解同角三角函数的基本关系
7、能运用二倍角公式进行简单的恒等变换；
8、会用三角函数解决简单的实际问题。
基础知识梳理
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、象限角
（1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
（2）象限角的常用表示：
4、终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
5、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
6、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
7、常用的角度与弧度对应表
8、扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
9、任意角的三角函数定义
（1）单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
（2）终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
10、三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）
11、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
（2）商数关系:（，）
诱导公式一
① ②
③其中.
公式二

公式三

公式四

公式五

公式六

公式七

公式八

12、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
14、二倍角公式
①
②；；
③
15、降幂公式

16、辅助角公式：
(其中)
17、五点法作图
18、三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
19、根据图象求解析式
形如的解析式求法：
（1）求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
（2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
（3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
考点精讲讲练
考点一：任意角
【典型例题】
例题1．（2024北京）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023上海）如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为 .
【即时演练】
1．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（ ）
A．第二或第四象限角B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
2．角是第 象限角．
3．与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ．
考点二：弧度制
【典型例题】
例题1．（2023安徽）角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024浙江）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023湖北）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．

【即时演练】
1．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
考点三：三角函数的概念
【典型例题】
例题1．（2024新疆）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023湖南）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．1
例题3．（多选）（2024浙江）已知，且，则关于表述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即时演练】
1．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边上一点，且，则 .
3．已知点是角α终边上的一点，则 ．
考点四：同角三角函数基本关系
【典型例题】
例题1．（2024湖北）已知，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
例题2．（2023江苏）已知，则（ ）
A．B．C．D．3
例题3．（2023山西）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【即时演练】
1．已知，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
2．若，则 ．
3．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上．
(1)求的值；
(2)求的值．
考点五：诱导公式
【典型例题】
例题1．（2022浙江）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024陕西）已知角终边上一点，则 ．
例题3．（2023上海）已知，那么的值是 .
【即时演练】
1．已知角的终边经过点，则 ．
2．已知为第二象限角，．
(1)化简；
(2)若，求的值．
3．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.

(1)求的值；
(2)若，求的坐标.
考点六：三角函数的图象和性质
【典型例题】
例题1．（2024云南）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023安徽）下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024湖南）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．的最小正周期为
C．的最大值为1D．在上单调递减
例题4．（2024云南）若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2023浙江）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【即时演练】
1．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是偶函数，则的值为
5．函数的值域为 .
考点七：三角恒等变换
【典型例题】
例题1．（2024北京）（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022安徽）若在上是减函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024云南）设，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2024天津）已知，且．
(1)求，的值；
(2)求的值．
例题5．（2023吉林）已知函数．
(1)求函数的最大值和最小值；
(2)求函数的单调递增区间．
【即时演练】
1．计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．3D．4
3．已知函数.
(1)求的值；
(2)已知，求的值.
4．已知函数，且.
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的最大值和最小值.
5．已知函数，.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期和单调递增区间.
考点八：函数
【典型例题】
例题1．（2022河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023广西）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
例题3．（2024湖南）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
例题4．（2024湖南）已知函数为奇函数，函数．
(1)若的最小正周期为，求出与的值；
(2)若在区间上有且仅有4个最值点，求的取值范围；
(3)在（1）的条件下，求的最大值以及取得最大值时x的集合．
【即时演练】
1．将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
3．为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ）
A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
4．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
5．已知函数.
(1)填写下表，并画出在上的图象；
写出的解集.
考点九：三角函数的应用
【典型例题】
例题1．（2023安徽）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023辽宁）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（ ）
根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（ ）
A．2.83B．3.75C．6.25D．7.17
例题3．（2024北京）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为．
(1)当时，求电流；
(2)当时，电流取得最大值，写出的一个值．
【即时演练】
1．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中x表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型):
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ）
A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的
B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期
C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
3．（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为
4．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．，，
B．当时，点P到x轴的距离的最大值为
C．当时，函数单调递减
D．当时，
5．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）
(1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；
(2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．
实战能力训练
一、单选题
1．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则（ ）
A．B．C．2D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．2C．D．
8．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确得是（ ）
A．在时取得最大值
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减
D．的一个对称中心是
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．为的图象的一个对称中心
C．在上单调递增
D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点
三、填空题
11．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
12．已知函数的部分图象如图，，则= ， ．
四、解答题
13．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的值域.
(3)若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围.
14．已知.
(1)求的值；
(2)若，是方程的两个根，求的值.
15．已知函数，且的最小正周期为．
(1)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；
(2)若，，求的值．
16．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值及图象的对称轴方程；
(2)在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间.
17．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，使成立，求的取值范围．目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22337" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc22337 \h 1
\l "_Tc8665" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc8665 \h 2
\l "_Tc29618" 考点精讲讲练 PAGEREF _Tc29618 \h 8
\l "_Tc20278" 考点一：任意角 PAGEREF _Tc20278 \h 8
\l "_Tc22448" 考点二：弧度制 PAGEREF _Tc22448 \h 8
\l "_Tc672" 考点三：三角函数的概念 PAGEREF _Tc672 \h 10
\l "_Tc13418" 考点四：同角三角函数基本关系 PAGEREF _Tc13418 \h 10
\l "_Tc18474" 考点五：诱导公式 PAGEREF _Tc18474 \h 11
\l "_Tc3776" 考点六：三角函数的图象和性质 PAGEREF _Tc3776 \h 13
\l "_Tc32232" 考点七：三角恒等变换 PAGEREF _Tc32232 \h 14
\l "_Tc20067" 考点八：函数 PAGEREF _Tc20067 \h 16
\l "_Tc3853" 考点九：三角函数的应用 PAGEREF _Tc3853 \h 19
\l "_Tc21234" 实战能力训练 PAGEREF _Tc21234 \h 22
第一象限角
第二象限角
第三象限角
或
第四象限角
或
角度制
弧制度
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
0
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
时刻：x（时）
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深：y（米）
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0