专题07 立体几何初步-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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1、认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；
2、能用公式计算球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积；
3、能用斜二测法画出简单空间图形的直观图；
4、了解4个基本事实和3个推论，了解等角定理
5、了解空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直关系
6、能用平行，垂直关系中的判定定理和性质定理证明空间基本图象的位置关系。
基础知识梳理
1、空间几何体的结构特征
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（3）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（4）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（5）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（6）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（7）球
球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
2、直观图
（1）空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
3、柱、锥、台、球的表面积和体积
4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
5、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,.
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言：,,且,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
数学语言：,且 ,且
6、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
7、空间点、直线、平面之间的位置关系
8、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.
（2）直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
（3）直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
9、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
（2）平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表述：
（3）平面与平面平行的性质定理
性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
10、直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意，都有.
（2）直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
（3）直线和平面垂直的性质定理
定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
11、平面与平面垂直
11.1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
11.2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
11.3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
考点精讲讲练
考点一：基本立体图形
【典型例题】
例题1．（2023广西）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（ ）
A．圆锥B．圆台C．圆柱D．球
【答案】C
【知识点】圆柱的结构特征辨析、由平面图形旋转得旋转体
【分析】根据圆柱的形成即可得到答案.
【详解】以矩形的边所在直线为轴，
其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱.
故选：C.
例题2．（2023北京）如图，在长方体中，，，则（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱及其有关计算
【分析】根据长方体的性质求解.
【详解】在长方体中，，
故选：B
例题3．（2023江苏）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类
【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案.
【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥.
故选：B
例题4．（2023浙江）在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球的半径为R，大球内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若，则r的最大值为 .
【答案】
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，求得，，在直角中，求得，过点作，求得，即可求解.
【详解】由题意，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，
如图所示，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，
因为平面，则，且，
所以，
在直角中，，可得，
解得，
过点作，垂足为，
在直角中，可得，
即小球的最大半径为
故答案为：.
【即时演练】
1．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征和分类
【分析】根据几何体结构特征直接判断即可.
【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，
由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，
又平面平面，
平面分别与平面和相交于，
所以，同理，
又，所以互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选：C
2．如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题
【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可．
【详解】
把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，
则蚂蚁爬行的最短路径为，
如图，由题意可知，，
在，，
所以它爬行的最短路程为，
故选：C
3．如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】台体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算
【分析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可.
【详解】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则.
瓶子的侧面积，
解得.
瓶子的体积.
故选：A.
4．已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为
【答案】
【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算
【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
有题意知，，解得，
所以.
故答案为：.
考点二：立体图形直观图
【典型例题】
例题1．（多选）（2023福建）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（ ）

A．是直角三角形B．长为
C．长为D．边上的中线长为
【答案】ACD
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据斜二测画法的规则，即可求解.
【详解】因为轴，由斜二测画法规则知，即为直角三角形，如图所示，
又因为，可得，，所以，
所以边上的中线长度为．
故选：ACD.

例题2．（2024浙江）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为 .
【答案】12
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】画出原图，可得，再求面积即可.
【详解】如图，可得，，，，
则原的面积为.
故答案为：12.
【即时演练】
1．的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .

【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解.
【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边，
边上的高，所以的面积是.
故答案为：.
2．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中．则原平面四边形OABC的面积为 ．
【答案】5
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】由题图及斜二测画法确定原四边形的形状，进而求其面积.
【详解】由斜二测画法，知原图形中，且，
所以原平面四边形OABC为直角梯形，面积为.
故答案为：5
3．如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．

【答案】 菱形
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形
【分析】作出原图形，可知原图形为菱形，计算出的面积即可得解.
【详解】如图，在原图形中，

应有，又，
所以，
所以，故四边形是菱形．
.
故答案为：菱形，.
考点三：简单几何体的表面积和体积
【典型例题】
例题1．（2024北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）

A．108B．162C．180D．189
【答案】C
【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积
【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.
【详解】设此半正多面体模型的体积为，
则.
故选：C.
例题2．（2022河北）已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】球的表面积的有关计算
【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式（其中为面积，为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离（这里），通过勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积.
【详解】已知截面圆的面积为，根据圆的面积公式，可得，解得.
设球的半径为，因为是的中点，所以球心到截面的距离.
根据勾股定理，将，代入可得：
,则，则，则，解得.
根据球的表面积公式，将代入可得：
故选：C.
例题3．（2024浙江）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是r，
∴球的表面积是4
故选：A
例题4．（2024安徽）在中，，，，若将绕所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
【答案】
【知识点】锥体体积的有关计算、求旋转体的体积
【分析】画出旋转体的图象，根据圆锥体积公式求出几何体的体积.
【详解】如图所示，
旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
所以，
所以旋转体的体积为：.
故答案为：
【即时演练】
1．已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算
【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.
【详解】

如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，
设底边边长，高，
则，
又正四棱柱的侧面积，
正四棱锥的侧面积，
则，解得，
所以正四棱锥体积，
故选：B.
2．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ）
A．20B．24C．D．
【答案】B
【知识点】棱台表面积的有关计算
【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积.
【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为，
其中，故，
所以，
又，由勾股定理得，
其中，由勾股定理得，
故梯形的面积为，
其侧面积为.
故选：B
3．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】锥体体积的有关计算、正棱锥及其有关计算
【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积.
【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点，
由已知可得，
所以，
又，所以，
所以正四棱锥的体积为.
故选：.
4．若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为 .
【答案】
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】由台体体积公式进行求解.
【详解】体积.
故答案为：
5．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为3，且弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于 .
【答案】
【知识点】锥体体积的有关计算
【分析】根据侧面展开图扇形弧长可求得底面半径，并利用勾股定理求得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为，则，解得：，
圆锥的高，圆锥的体积.
故答案为：.
考点四：空间点、直线、平面的位置关系
【典型例题】
例题1．（2024北京）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（ ）
A．与直线相交B．与直线平行
C．与直线垂直D．与直线是异面直线
【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.
【详解】易知三棱柱为直三棱柱，
由图易判断与异面，AB错误；
因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误；
由图可判断与直线是异面直线，D正确.
故选：D
例题2．（2022河北）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论：
①若，则； ②若，则；
③若，则. ④若，则.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断
【分析】根据空间中线面、面面之间的基本关系，依次判断命题即可.
【详解】①：若，则，故①正确；
②：若，则或与相交或，故②错误；
③：若，则或与相交，故③错误；
④：若，则，故④正确.
故选：D
例题3．（2024浙江）在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】连接，或其补角为异面直线和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值.
【详解】连接，因为，是的中点，所以，
所以或其补角为异面直线和所成角，
设正四面体的棱长为2，则，
在中由余弦定理得，
所以和所成角的正弦值为，
故选：B

【即时演练】
1．已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（ ）
A．至多与、中的一条相交B．至少与、中的一条相交
C．至少与、中的一条异面D．至少与、中的一条平行
【答案】B
【知识点】异面直线的概念及辨析
【分析】根据异面直线的定义直接判断.
【详解】异面直线、满足，，，
则与平行或相交，与平行或相交，
但直线与，不能同时平行，
若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾，
所以至少与、中的一条相交，
故选：B.
2．在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定
【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可.
【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面；
选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面；
选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面，
则a与b有可能平行；
选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面．
故选：C．
3．如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】证明，，结合异面直线夹角定义可得为异面直线与所成的角，解三角形求其余弦值.
【详解】连接，，，
因为为的中点，，
所以，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
所以为异面直线与所成的角（或其补角），
因为为等边三角形，所以，
故，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
4．（多选）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A．B．
C．直线与异面D．直线与异面
【答案】AD
【知识点】棱柱的结构特征和分类、异面直线的判定
【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案.
【详解】根据题意，画出该正方体的直观图，
对于A，易得，A正确；
对于B，与异面，B错误；
对于C，直线与相交，C错误；
对于D，直线与异面，D正确.
故选：AD.
考点五：空间直线、平面的平行
【典型例题】
例题1．（多选）（2024湖北）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】判断线面平行
【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.
【详解】对A：如图：
连接，交于点，连接，则，平面，
且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误；
对B：如图：
因为，平面，平面，所以平面，故B正确；
对C：如图：
取中点，易证四点共面，且，平面，
平面，所以平面，故C正确；
对D：如图：
连接，则，平面，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD
例题2．（2023山西）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．

(1)求证平面；
(2)求与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)与所成角的余弦值为.
【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行
【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面；
（2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可.
【详解】（1）取的中点，连接，

∵分别为的中点，∴，，
由，且，
∴，且 ，
∴四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
∴平面；
（2）因为，
所以为直线与所成角，
中，，
直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，

则，，，，
，所以为等腰三角形，则，
中，，
所以，
中，，
所以
所以与所成角的余弦值为.
例题3．（2023湖南）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

(1)求证：平面ABC；
(2)若，，求圆锥PO的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行
【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证，
（2）由圆锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,
由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC
（2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，
所以,又，所以,
因此底面圆的半径为,
故圆锥PO的体积为，
例题4．（2023福建）如图，长方体，，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行
【分析】（1）利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积；
（2）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.
【详解】（1）解：在长方体中，平面，且，
因为，，则，，
因此，三棱锥的体积为.
（2）证明：在长方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，因此，平面.
【即时演练】
1．在四棱锥中，“”是“平面”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件的证明、判断线面平行、线面平行的性质
【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定.
【详解】

由，平面，平面，得平面.
由平面，平面，平面平面，得.
故“”是“平面”的充要条件.
故选：C.
2．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）

A．1B．C．2D．3
【答案】D
【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
【分析】根据∽，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.
【详解】设与交于点，连接，如图所示，

因为为的中点，则，
由四边形是平行四边形，可得，则∽，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故选：D.
3．如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 .
①平面；②平面；③平面.
【答案】①③
【知识点】证明线面平行、判断线面平行
【分析】利用线面平行的判定定理一一判定选项即可.
【详解】对于①，由题意得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故①正确；
对于②，取的中点G，连接，
∵E是的中点，，
∴，
∴四边形为梯形，
∴直线与直线相交，
∴与平面相交，故②错误；
对于③，连接，交于点O，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴O是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故③正确．
故答案为：①③
4．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面.
（2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面.
【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点，
又为的中点，则有，
平面，平面，所以平面.
（2），分别为，的中点，则有，
平面，平面，则有平面，
，分别为，的中点，有，
又，则有，
平面，平面，则有平面，
平面，，
所以平面平面.
5．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上.
(1)求证：平面；
(2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析，
【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论；
（2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值.
【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面；
（2）连接交于，连接，
因为平面，且平面，平面平面，
所以，
则，可得，
又因为，可知，则，
因此，.
考点六：空间直线、平面的垂直
【典型例题】
例题1．（2024福建）如图，已知长方体，下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．
D．
【答案】A
【知识点】判断线面平行、线面垂直证明线线垂直
【分析】根据长方体中的平行关系和垂直关系，依次判断即可.
【详解】在长方体中，∥，平面，平面，平面，故A正确，B不正确；
平面，平面，，故C不正确；
∥，∥，∥，故D不正确.
故选：A.
例题2．（2024福建）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.

(1)若，求四棱锥的体积
(2)求证：平面
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直
【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积.
（2）可证 ，结合可证平面.
【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为，
而正方形的面积为，故.
（2）因为底面，而平面，故，
由正方形可得，因平面，
故平面.
例题3．（2024湖北）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结.
(1)证明：两两垂直；
(2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直
【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，，和“阳马”的定义得；
（2）取的中点，连接，可得底面，再利用锥体的体积公式即可求解.
【详解】（1）由底面，底面，
则，，
又在阳马中，底面为矩形，
则，
因此可得两两垂直.
（2）
取的中点，连接，
又点是的中点，则，且，
又底面，
则底面，
则四面体的体积，
又阳马的体积，
则，
因此可得.
例题4．（2024安徽）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明面面垂直、证明线面平行
【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面.
（2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面.
【详解】（1）
设，连接，
∵底面是菱形，∴为的中点，
又∵是的中点，∴，
又平面，平面，∴直线平面.
（2）∵底面是菱形，∴.
又平面，平面，∴.
又，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴平面平面.
例题5．（2023广西）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直
【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明；
（2）利用面面垂直的性质定理，即可证明.
【详解】（1）连结，因为分别是的中点，
所以，且，
因为点是的中点，所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
且平面，平面，
所以平面；
（2）因为，为AB的中点，所以，
由平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面；
【即时演练】
1．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断
【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.
【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误；
由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或，故D错误.
故选：C.
2．如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得.
(1)证明：；
(2)求五棱锥的体积
【答案】(1)证明见解析；
(2)19
【知识点】线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）先证明平面，得，，勾股定理得，从而底面，即为五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案；
【详解】（1）由，，，，
得，，又，在中，
由余弦定理得，
所以，则，即，
所以，，又，平面，
所以平面，又平面，故；
（2），，，
，即平面，所以，，
且，所以，由（1），
而是平面内的两条相交直线，
由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则，
3．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，平面，求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）连接，进而根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由平面，可得，进而结合可得面，再结合即可求证.
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是平行四边形，且是的中点，
∴是的中点，
∵E为PC的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）证明：∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴面，
∵，
∴平面.
4．在长方体中，，，E为棱上一动点，
(1)当平面时，求线段的长度；
(2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度．
【答案】(1)1；
(2)存在，且.
【知识点】补全线面垂直的条件、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长；
（2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长.
【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于，
由面，面，则面，
故与重合时，满足题设要求，
根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点，
所以；
（2）存在，且，理由如下，
要使恒成立，只需垂直于所在平面即可，
当面，而面，故，
此时，即，
所以，则，可得.
实战能力训练
一、单选题
1．若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算
【分析】利用球的体积公式和表面积公式列方程求解即可.
【详解】由题意，所以.
故选：B
2．已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】利用圆台体积公式计算即得.
【详解】根据题意，可得该圆台的体积为:
.
故选：B.
3．若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断
【分析】根据空间中线线、线面和面面之间的关系，结合选项依次判断即可.
【详解】A：若，则，故A正确；
B：若，则，故B正确；
C：若，，则，故C正确；
D：若，则或与异面或与相交，故D错误.
故选：D
4．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解
【详解】因为，
所以是直角三角形且，可得，
所以的面积，
则的面积．
故选：A
5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可.
【详解】
因为底面，底面，即，
根据题意可知为等边三角形，为直角三角形，
而，
则，
取的中点，连接，所以，
易知，则，
所以三棱锥的外接球的球心为F，
，
∴该外接球的体积为.
故选：B
6．如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算
【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解.
【详解】将直三棱柱展开成矩形，
如下图，连接，交于，此时最小，
∵，则，而，
由且都在面，则面，
又，则面，即面，
点为侧棱上的动点，当最小时，即，得，
又为直角三角形，此时三棱锥的体积为：
.
故选：C
7．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征和分类、求异面直线所成的角
【分析】由正方体结构特征证得，化为求直线和夹角余弦值，应用余弦定理求结果.
【详解】连接，由正方体的性质，知也是的中点，且，即，
又，故为平行四边形，则，
所以直线和夹角，即为直线和夹角，
若正方体棱长为2，则，
所以，即直线和夹角余弦值为.
故选：C

8．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正棱锥及其有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得.
【详解】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为.
故选：B.
二、多选题
9．已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，可能有，故A错误；
B选项，若，则，而，则，所以B正确.
C选项，若，可能，则未必有，故C错误.
D选项，若，则，而，则，所以D正确.
故选：BD
10．如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．与平面
C．与所成的角为D．平面
【答案】ABD
【知识点】求异面直线所成的角、判断线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】连接，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断可得A、B、D正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得C．
【详解】对A：连接，，则交于，又为中点，
可得，由平面，平面，
可得，故，故A正确；
对B：连接，，由正方体性质可知平面，
可得平面，故B正确；
对C：与所成角就是，连接，
由正方体性质可知，即为等边三角形，
故，即与所成的角为，故C错误；
对D：由，平面，平面，
故平面，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
11．如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ．

【答案】/
【知识点】求线面角
【分析】利用等体积法求得到平面的距离，从而求得与平面所成角的正弦值.
【详解】设是的中点，连接，由于，
所以，由于平面平面，且交线为，
平面，所以平面，由于平面，所以，
设，而，
所以，所以，
三角形的面积为，
设到平面的距离为，
则，即，
所以与平面所成角的正弦值是.
故答案为：

12．如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】由异面直线所成的角求其他量
【分析】将异面直线与所成的角转化成或其补角，再利用余弦定理即可求解.
【详解】如图所示，取的中点E，连接.
因为M，N分别是的中点，
所以且，且，
从而（或其补角）即为与所成的角．
又异面直线与所成的角为，所以或，
当时，由余弦定理可知
.
当时，由余弦定理可知
.
故答案为：或.
四、解答题
13．已知正方体的棱长为1，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行
【分析】（1）由正方体的结构特征得到，，再由线面平行及面面平行的判定证面面，最后利用面面平行的性质定理即得结论；
（2）利用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】（1）连接，由正方体的性质易得，，
由面，面，则面，
由面，面，则面，
因为且都在面内，则面面，
由于面，故平面.
（2）由正方体结构特征，易知三棱锥的底面为等腰且高为，
所以三棱锥的体积.
14．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明线面垂直、证明线面平行
【分析】（1）由菱形的性质证得，由已知平面，证得，由线面垂直的判定定理得证平面；
（2）取的中点，证明四边形为平行四边形，得证，由线面平行的判定定理得平面.
【详解】（1）证明：连接，交于点，
因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面；

（2）证明：取的中点，连接，
又为的中点，有，，
已知，，
则有，，四边形为平行四边形，
有，即有，
平面，平面，所以平面.
15．如图，在四棱锥中，平面.

(1)求证：平面；
(2)若，求与平面成角的正弦值；
(3)设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
(3).
【知识点】补全线面平行的条件、证明线面垂直、求线面角
【分析】（1）由线面垂直得到，结合即可得证；
（2）首先求得为直线与平面所成角的平面角，再求解即可；
（3）由线面平行的性质得到，即可得解.
【详解】（1）因为平面平面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）平面，
平面，得为直线与平面所成角的平面角，
中，，
中，，
；
（3）因为平面，平面平面，平面，
所以，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以.
16．在正方体中，E，F分别是底面和侧面的中心．
(1)求证：平面
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明面面平行、证明线面垂直
【分析】（1）通过证明，，根据线面垂直的判定定理可证；
（2）通过证明平面，平面，根据面面平行的判定定理可证.
【详解】（1）根据题意，连接，
由正方体性质，可知面，面，所以，
在正方形中，，又，面，
所以面，面，则，同理，
，面，所以平面；
（2）根据题意，E，F分别是底面和侧面的中心，
所以，即平面为平面，
由正方体性质，，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，则平面，
同理平面，，平面，
所以平面平面，即平面平面．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21733" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc21733 \h 1
\l "_Tc2664" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc2664 \h 1
\l "_Tc15418" 考点精讲讲练 PAGEREF _Tc15418 \h 8
\l "_Tc31520" 考点一：基本立体图形 PAGEREF _Tc31520 \h 8
\l "_Tc7949" 考点二：立体图形直观图 PAGEREF _Tc7949 \h 13
\l "_Tc14430" 考点三：简单几何体的表面积和体积 PAGEREF _Tc14430 \h 16
\l "_Tc10321" 考点四：空间点、直线、平面的位置关系 PAGEREF _Tc10321 \h 20
\l "_Tc825" 考点五：空间直线、平面的平行 PAGEREF _Tc825 \h 25
\l "_Tc5868" 考点六：空间直线、平面的垂直 PAGEREF _Tc5868 \h 34
\l "_Tc16512" 实战能力训练 PAGEREF _Tc16512 \h 42
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱，圆柱）
椎体（棱锥，圆锥）
台体（棱台，圆台）
球
几何体
圆柱
圆锥
圆台
图示
侧面积公式
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言

相交关系
图形语言
图形语言
独有关系
图形语言
图形语言
与是异面直线