专题08 统计-【备战学考】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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1、了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性；
2、了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法；
3、会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系；
4、了解分层随机抽样的特点和使用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差；
5、能用样本估计总体的集中趋势参数，理解集中趋势参数的统计含义；
6、能用样本估计总体的取值规律；
7、能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义。
基础知识梳理
1、简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
2、总体平均数与样本平均数
3、分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
（2）分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数
4、统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
（3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
③将数据分组．
④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是eq \f(第i组频数,样本容量).
⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示eq \f(频率,组距).eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．
5、总体百分位数的估计
（1）第百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组个数据的第百分位数的步骤：
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算.
第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
6、样本的数字特征
（1）众数
一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.
（2）中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
（3）平均数
一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为
（4）标准差与方差
如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差：
7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
考点精讲讲练
考点一：随机抽样
【典型例题】
例题1．（2023广西）一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（ ）
A．2B．3C．5D．6
例题2．（2024新疆）一支运动队有男运动员32人，女运动员24人，按性别进行分层，用分层随机抽样的办法从全体运动员中抽出一个容量为21的样本.如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取（ ）
A．9人B．12人
C．15人D．18人
例题3．（2024北京）某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）
A．最多有1651名学生B．最多有1649名学生
C．最少有618名学生D．最少有617名学生
例题4．（2024福建）已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人.
例题5．（2024湖南）某班有50名学生，按男、女生分层随机抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则这个班男生人数是班级总人数的 ．
例题6．（2024广东）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数)
【即时演练】
1．从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（ ）
（注：表中的数据为随机数表第一行和第二行）
A．24B．36C．42D．52
2．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（ ）
A．150B．180C．200D．250
3．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．52B．48C．36D．24
4．某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（ ）
A．上述调查属于全面调查B．每名学生是总体的一个个体
C．200名学生的视力是总体的一个样本D．1200名学生是总体
5．某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A．24B．26C．30D．32
6．下列调查中，适合用普查的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量
C．了解一批电池的使用寿命D．了解某市居民对废电池的处理情况
7．某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 .
8．有以下两个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量；
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况．
(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程．
考点二：用样本估计总体
【典型例题】
例题1．（2024北京）下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.

记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024福建）已知x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均数为5，则它们的中位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例题3．（2022河北）若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（ ）
A．2B．3C．5D．7
例题4．（2024湖北）向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下：
则这组数据的第50百分位数为（ ）
A．8720B．8722C．8724D．8726
例题5．（2024江苏）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（ ）
A．79B．80C．81D．82
例题6．（2023安徽）某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量（单位：本）进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
例题7．（2024云南）某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人.
例题8．（2023广西）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）．
上半月：55 70 75 80 80 84 84 85 86 89
91 94 96 99 104
下半月：74 75 83 85 85 87 93 94 97 99
101 102 107 107 117
(1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差；
(2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？
【即时演练】
1．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（ ）

A．盛李豪的平均射击环数超过
B．黄雨婷射击环数的第百分位数为
C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
2．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．68B．70C．72D．74
3．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为50，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（ ）
A．50，B．50，10C．，D．，
4．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为 ．
5．样本数据的极差和第75百分位数分别为 ．
6．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
7．已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为 ；样本方差为 .
8．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 .
9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和.
(1)求，，，；
(2)如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
10．下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）：
(1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？
(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？
实战能力训练
一、单选题
1．一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（ ）
A．112分B．113分C．115分D．119分
2．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ）
A．B．C．D．
3．在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了枝花的高度（单位：），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（ ）

A．样本花卉高度的极差不超过
B．样本花卉高度的中位数不小于众数
C．样本花的高度的平均数不小于中位数
D．样本花升高度小于的占比不超过
4．已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（ ）
A．16，20B．16，80C．18，20D．18，80
5．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（ ）
A．B．C．D．
6．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（ ）
A．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变
B．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变
C．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变
D．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变
7．已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表：
估计总体平均数为（ ）
A．73B．74C．76D．80
8．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ）
A．成绩在上的人数最少
B．成绩不低于80分的学生所占比例为
C．50名学生成绩的极差为50
D．50名学生成绩的平均分小于中位数
二、多选题
9．某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．参赛成绩的众数约为75分
B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人
C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
D．参赛成绩的平均分约为72.8分
10．现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据，下列说法正确的是（ ）
A．的下四分位数为
B．的中位数为
C．的平均数小于的平均数
D．的方差是的方差的4倍.
三、填空题
11．已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个.女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的平均数为 ；方差为 .
12．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是 .（如下是随机数表第8行至第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 0 13 42 99 66 02 79 54
四、解答题
13．新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；

(1)试估计这名学生成绩的第百分位数；
(2)若采用分层抽样的方法从成绩在，80,90，90,100的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．
14．从我校高二年级的名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的名男生的身高的众数与平均数；
15．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；
(2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；
16．为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这批零件的直径的中位数；
(2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数．
17．从我校高二年级的500名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的500名男生的身高的平均数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率.
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16616" 明晰学考要求 PAGEREF _Tc16616 \h 1
\l "_Tc1282" 基础知识梳理 PAGEREF _Tc1282 \h 1
\l "_Tc22355" 考点精讲讲练 PAGEREF _Tc22355 \h 4
\l "_Tc29876" 考点一：随机抽样 PAGEREF _Tc29876 \h 4
\l "_Tc20227" 考点二：用样本估计总体 PAGEREF _Tc20227 \h 6
\l "_Tc6773" 实战能力训练 PAGEREF _Tc6773 \h 10
定义
总体均值（总体平均数）
一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为,,,，则称为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为,,,，其中出现的频率（）则总体均值还可以写成加权平均数的形式
样本均值（样本平均数）
如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，，则称为样本均值，又称样本平均数.
说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数；
（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）；
（3）一般情况下，样本量越大，估计越准确.
0347
4373
8636
9647
3661
4698
6371
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676
2107
4165
5467
5678
5705
6542
8358
8592
8666
8722
8726
9986
10575
11558
11736
12121
12386
12400
13039
16530
一班
19
33
26
29
28
33
34
35
33
33
30
二班
25
27
29
28
29
30
29
35
29
30
29
分层
样本量
样本平均数
第一层
10
55
第二层
30
75
第三层
10
90