2024-2025学年福建省福州市福清市高一（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市福清市高一（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题：“∀x∈R，x2+2x+1≤0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+2x+1>0B. ∀x∈R，x2+2x+1≤0
C. ∃x∈R，使得x2+2x+1>0D. ∃x∈R，使得x2+2x+1≤0
2.已知集合U={−1,0,1,2,3}，A={x|−1m(a)，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
设f(x)=x−1x．
(1)求证：f(1x)=−f(x)；
(2)证明：f(x)为奇函数；
(3)试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并说明理由．
19.(本小题17分)
若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如{3,32}就是一个2元“完美集”，这是因为3+32=3×32．
(1)请再写出一个不同于{3,32}的2元“完美集”(无需写出求解过程)；
(2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；
(3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.A
6.D
7.A
8.D
9.AD
10.BD
11.BCD
12.14
13.0
14.3a−1 [0,13]
15.解：(1)集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，
当a=0时，B=⌀，符合题意，
当a≠0时，B={1a}，
因为B⊆A，
所以1a=1或1a=2，
解得a=1或12，
综上所述，实数a的值为0或1或12；
(2)C={x∈Z|x2−6x+5≤0}={1,2,3,4,5}，
所以{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}，
所以M={1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
16.解：因为a>0，b>0．
(1)所以a2+a−2ab+b2=(a−b)2+a>0，
所以a2+a>2ab−b2；
(2)若a+b+3=ab，则ab−3=a+b≥2 ab，当且仅当a=b=3时取等号，
所以ab≥9，
故ab的最小值为9．
17.解：(1)因为f(x)=−x+1，g(x)=(x−1)2，
由题意可得m(x)=−x+1,x≤0(x−1)2,0m(a)，
由函数在R上单调递减，所以2−a20，
解得：a>1或a1或ax2>0，
所以x1−x2>0，1+1x1x2>0，
则f(x1)−f(x2)=x1−x2+1x2−1x1=x1−x2+x1−x2x1x2=(x1−x2)(1+1x1x2)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
19.解：(1){4,43}(答案不唯一，满足x+y=xy均可)；
(2)证明：由题，设2元“完美集”为{x,y}，其中x≠y，且x>0，y>0，
则x+y=xy，
由x+y≥2 xy得，xy≥2 xy，xy≥4，
因为x≠y，所以xy>4；
(3)假设{x,y}为2元“完美集”，且x，y∈N∗，x≠y，
所以x+y=xy，
则(x−1)(y−1)=1，又x，y∈N∗，
所以x−1=1y−1=1或x−1=−1y−1=−1，即x=y=2或x=y=0，这与x≠y矛盾，
故不存在满足题意的2元“完美集”．