2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省七校高二上学期11月期中联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y−2=0互相垂直，那么a的值等于
A. 1B. −13C. −23D. −2
2.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=6，AD=4,AA1=2，且∠A1AD=∠A1AB=60∘，则线段AC1的长为( )
A. 9B. 2 15C. 2 19D. 6
3.已知圆M：x2+y2−2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N：(x−1)2+(y−1)2=1的位置关系是( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
4.下列命题中正确的是( )
A. 点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是−3,2,−1
B. 若直线l的方向向量为e=(1,−1,2)，平面α的法向量为m=(6,4,−1)，则l⊥α
C. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120∘，则直线l与平面α所成的角为30∘
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若OP=mOA−12OB+OC，则m=−12
5.已知椭圆方程为C:x28+y22=1，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=90∘，r为▵F1PF2的内切圆，则r=( )
A. 6− 2B. 2 2− 6C. 2 2+ 6D. 6+ 2
6.如图所示，在正四面体A−BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
A. 32B. 23C. 12D. 33
7.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且e1e2=13，若∠F1PF2=π3，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A. x±y=0B. x± 33 y=0C. x± 22 y=0D. x±2y=0
8.已知圆C1:(x−2)2+(y−2)2=14与圆C2:(x+1)2+(y+2)2=14，过动点Mm,n分别作圆C1､圆C2的切线MA,MB(A,B分别为切点)，若MA=MB，则M到圆(x+12)2+(y+5)2=4距离的最小值是( )
A. 192B. 154C. 192−2D. 154−2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x29+m+y216−m=1所表示的曲线为C，则下列说法错误的是( )
A. 若C为椭圆，则−90)的左右顶点，P是双曲线x2a2−y2b2=1在第一象限上的一点，直线PA，PB分别交椭圆于另外的点M，N.若直线MN过椭圆的右焦点F，且tan∠AMN=3，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l的方程为：2m+1x+m+1y−7m−4=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当▵AOB面积最小时，求▵AOB的周长．
16.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120∘，且PA=AB=BC=12AD=2．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角B−PC−D的余弦值．
17.(本小题12分)
已知圆O经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)两个焦点以及两个顶点，且点b,1a在椭圆C上．
1求椭圆C的方程；
2若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且MN=43，求直线l的倾斜角．
18.(本小题12分)
在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1).将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得平面D′AC⊥平面BAC(如图2)．
(1)求二面角A−BD′−C的余弦值;
(2)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为 68?若存在，求出PQPD′的值;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
在空间解析几何中，可以定义曲面(含平面)S的方程，若曲面S和三元方程F(x,y,z)=0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程F(x,y,z)=0的解；②以三元方程F(x,y,z)=0的任意解(x0,y0,z0)为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为F(x,y,z)=0，方程F(x,y,z)=0的曲面为S.已知空间中某单叶双曲面C的方程为x21+y21−z24=1，双曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，已知直线l过C上一点Q(1,1,2)，且以d=(−2,0,−4)为方向向量．
(1)指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线l在曲面C上；
(3)若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上．设直线l′在曲面C上，且过点T( 2,0,2)，求异面直线l与l′所成角的余弦值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.B
7.C
8.A
9.ACD
10.BC
11.ACD
12.2或22
13.60∘
14.23
15.(1)
证明：由2m+1x+m+1y−7m−4=0可得：m2x+y−7+x+y−4=0，
令2x+y−7=0x+y−4=0⇒x=3y=1,
所以直线l过定点M3,1．
(2)
由(1)知，直线l1恒过定点M3,1，
由题意可设直线l1的方程为y−1=kx−3k0，即k≠0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−21+2k2,x1−x2= x1+x22−4x1x2= 8k21+2k2，
所以MN= x1−x22+y1−y22= 1+k2x1−x2= 1+k2× 8k21+2k2=43，
解得k=±1，
所以直线l的倾斜角为π4或3π4．

18.解：(1)因为在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=π3，P为AB的中点，所以，CD//PB，CD=PB，所以▵ADP是正三角形，四边形DPBC为菱形，
可得AC⊥BC，AC⊥DP，而平面D′AC⊥平面BAC，平面D′AC∩平面BAC=AC，
D′O⊂平面D′AC，D′O⊥AC，
∴D′O⊥平面BAC，所以OA，OP，OD′两两互相垂直，
如图，以点O为坐标原点，OA，OP，OD′分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A 3,0,0，C− 3,0,0，B− 3,2,0，D′0,0,1，P0,1,0，
∴AD′=− 3,0,1，AB=−2 3,2,0，BD′= 3,−2,1，CD′= 3,0,1，
设平面ABD′的一个法向量为m=x1,y1,z1，则
m⋅AD′=0m⋅AB=0，即− 3x1+z1=0−2 3x1+2y1=0，令x1=1，则y1=z1= 3，
∴m=1, 3, 3，
设平面CBD′的一个法向量为n=x2,y2,z2，则
n⋅BD′=0n⋅CD′=0，即 3x2−2y2+z2=0 3x2+z2=0，令x2=1，则y2=0，z2=− 3，
∴n=1,0,− 3，
∴csm,n=m⋅nmn=1×1+ 3×0+ 3×− 3 1+3+3× 1+3=− 77，
又二面角为钝角，
所以二面角A−BD′−C的余弦值为− 77；
(2)线段PD′上存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为 68．
设PQ=λPD′0≤λ≤1，因为CP= 3,1,0，PD′=0,−1,1，
所以CQ=CP+PQ=CP+λPD′= 3,1−λ,λ，
设CQ与平面BCD′所成角为θ，
则sinθ=csCQ,n=CQ⋅nCQn= 31−λ2 2λ2−2λ+4= 68，
即3λ2−7λ+2=0，∵0≤λ≤1，解得λ=13，
所以线段PD′ 上存在点Q，且PQPD′=13，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为 68．

19.解：(1)根据坐标平面xOy内点的坐标的特征可知，坐标平面xOy的方程为z=0．
已知曲面C的方程为x21+y21−z24=1，
当z=0时，xOy平面截曲面C所得交线上的点M(x,y,0)满足x2+y2=1，
从而xOy平面截曲面C所得交线是：平面xOy上，以原点O为圆心，1为半径的圆；
(2)证明：直线l过曲面C上一点Q(1,1,2)，以d=(−2,0,−4)为方向量，
设P(x0,y0,z0)是直线l上任意一点，
从而存在实数λ，使得QP=λd，即(x0−1,y0−1,z0−2)=λ(−2,0,−4)，
则x0=1−2λ，y0=1，z0=2−4λ，所以点p的坐标为(1−2λ,1,2−4λ)，
于是(1−2λ)21+121−(2−4λ)24=1−4λ+4λ2+1−[1−4λ+4λ2]=1，
因此点P的坐标总是满足曲面C的方程，从而直线l在曲面C上；
(3)直线l′在曲面C上，且过点T( 2,0,2)，
设M(x1,y1,z1)是直线l′上任意一点，直线l′的方向向量为d′=(a,b,c)，
从而存在实数t，使得TM=td′，即(x1− 2,y1,z1−2)=t(a,b,c)，
则x1= 2+at，y1=bt，z1=2+ct，
所以点M的坐标为( 2+at,bt,2+ct)，
∵M(x1,y1,z1)在曲面C上，
∴( 2+at)21+(bt)21−(2+ct)24=1，
整理得(a2+b2−c24)t2+(2 2a−c)t=0，
∴a2+b2−c24=0，且2 2a−c=0，
∴c=2 2a，b=a，或c=2 2a，b=−a，
不妨取a=− 2，则c=−4，b=− 2，或c=−4，b= 2，
∴d′=(− 2,− 2,−4)，或d′=(− 2, 2,−4)，
又直线l的方向向量为d=(−2,0,−4)，
则异面直线l与l′所成角的余弦值均为|d⋅d′||d||d′|=2 2+162 5×2 5=8+ 210．