2024-2025学年山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.向量a=(2x,1,3)，b=(−1,2y,6)，若a//b，则( )
A. x=y=1B. x=14，y=−1
C. x=−14，y=1D. x=12，y=−12
2.过A(m2+2,m2−3)，B(3−m−m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45∘，则m等于( )
A. −2B. −1C. −1，−2D. 1，2
3.点P(1,−2)到直线l:(3+2λ)x+(4+λ)y−2+2λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为( )
A. 17;3x−4y−11=0B. 5;3x−4y+14=0
C. 17;4x+3y−11=0D. 5;4x+3y−14=0
4.已知点A(−3,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=2上任意一点，则△PAB面积的最小值( ) 为
A. 92B. 9C. 6D. 5
5.已知u=(3,a+b,a−b)，(a,b∈R)是直线l的方向向量，n=(1,2,3)是平面α的法向量，若l//α，则a，b的关系式为( )
A. 5a−b−3=0B. 5a+b−3=0C. a+5b−3=0D. 5a−b+3=0
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A和B1B的中点，则CM和D1N所成角的余弦值为( )
A. −19B. 19C. 24D. 29
7.已知P(m,n)为圆C:(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点，则m+nm+1的最小值为( )
A. − 33B. 33C. 1+ 33D. 1− 33
8.已知椭圆C:x225+y216=1的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点，则|PF|2+8|QF|的取值范围是( )
A. [63,79]B. [64,79]C. [64,78]D. [64,80]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1:x+ay−a=0和直线l2:ax−(2a−3)y−1=0，下列说法正确的是( )
A. l1始终过定点(0,1)B. 若l1//l2，则a=1或a=−3
C. 若l1⊥l2，则a=0或2D. 当ab>0)的左、右焦点，且AF1⊥F1F2，直线AF2与椭圆的另一个交点为B，且AF2=4F2B，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的长轴长是短轴长的 7倍B. 线段AF1的长度为47a
C. 椭圆的离心率是 37D. △BF1F2的周长为14+2 217a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设空间两个单位向量OA=(m,n,0)，OB=(0,n,p)与向量OC=(1,1, 2)的夹角都等于π3，则cs∠AOB等于 (A,B不重合)．
13.由曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为 ．
14.定义离心率e= 53的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆C:x2m+y24=1(m>4)是“西瓜椭圆”，则m= .若“西瓜椭圆”E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，直线y=kx与椭圆E交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点F，则k= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的高CM所在直线方程为2x−y−9=0，边AC上的中线BH所在直线方程为4x+3y−13=0.求
(1)顶点B的坐标;
(2)直线BC的方程．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．
(1)求四棱锥S−ABCD的体积;
(2)求平面SCD与平面SAB夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知圆C经过点A(0,−4)和B(−2,0)，并且圆心在直线x−y−3=0上，
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0.求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．
18.(本小题12分)
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1:x24+y23=1．
(1)若椭圆C2:x216+y212=1，试判断C2与C1是否相似?如果相似，求出C2与C1的相似比;如果不相似，请说明理由．
(2)写出与椭圆C1相似，且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆Cb的标准方程.若在椭圆Cb上存在两点M，N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB=2，AB⊥AC，PB⊥AC．
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD;
(2)求C到平面PAD的距离;
(3)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC//平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为 3535;若存在，求PQPD的值;若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.D
6.B
7.D
8.D
9.ACD
10.ABC
11.BD
12.0
13.8+4π
14.9；±43
15.解：如图(1)∵边AB上的高CM所在方程为2x−y−9=0，
∴CM的斜率kCM=2
∴AB的斜率kAB=−12
∴AB的方程为y−1=−12(x−5).即x+2y−7=0，
联立x+2y−7=04x+3y−13=0解得x=1y=3∴B(1,3)
(2)设C(a,b)∴H(a+52,b+12)，
∴4⋅a+52+3⋅b+12−13=0即4a+3b−3=0，
又C在CM上，即2a−b−9=0，
联立4a+3b−3=02a−b−9=0角解得a=3b=−3，
∴C(3,−3)，代入两点式得y+33+3=x−31−3即3x+y−6=0
∴BC的方程为3x+y−6=0

16.解：(1)∵SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC⊥AB，且SA=AB=BC=2，AD=1，
所以四棱锥S−ABCD的体积V=13SABCD⋅SA=13×12(2+1)×2×2=2；
(2)分别以AD,AB,AS所在直线为x轴，y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，
如图：
则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，
∴AD=(1,0,0)，SC=(2,2,−2)，SD=(1,0,−2)，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥AD，又AD⊥AB，又SA∩AB=A，SA，AB⊂平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴AD是平面SAB的一个法向量，
设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅SC=0n⋅SD=0,即2x+2y−2z=0x−2z=0，
令z=1，则n=(2,−1,1)，
∴cs=AD⋅n|AD|⋅|n|=21× 22+12+12=2 6= 63，
设平面SCD与平面SAB的夹角为θ，
则csθ=lcs|= 63．

17.解(1)设所求圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
由题设，得a2+(−4−b)2=r2(−2−a)2+b2=r2a−b−3=0，解得：a=3b=0r2=25，
所求圆C的标准方程是(x−3)2+y2=25；
(2)设直线AM方程为：y=kx−4，
由y=kx−4(x−3)2+y2=25，
消去y并整理得(1+k2)x2−(8k+6)x=0，
得M(8k+61+k2,4k2+6k−41+k2)，
而直线AN的方程为：y=−kx−4，
将上述M中的k换为−k，得N(−8k+61+k2,4k2−6k−41+k2)，
于是得直线MN的斜率为kMN=4k2+6k−41+k2−4k2−6k−41+k28k+61+k2−−8k+61+k2=12k16k=34，
∴直线l的斜率是定值，该定值为34．
18.18.解(1)椭圆C2与C1相似，
椭圆C2:x216+y212=1的“特征三角形”边长为4的等边三角形，
椭圆C1:x24+y23=1的“特征三角形”是边长为2的等边三角形，
∴椭圆C2与椭圆C1的“特征三角形”相似，且相似比为2:1，
∴椭圆C2与C1相似，且相似比为2:1．
(2)由(1)可知椭圆Cb的“特征三角形”为正三角形，
∴a=2c，故a2=43b2，
∴设椭圆Cb的方程为3x24b2+y2b2=1，
设直线MN的方程为y=−x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中点为(x0,y0).
由y=−x+m3x2+4y2−4b2=0,消去y并整理，得7x2−8mx+4m2−4b2=0，
则Δ=(−8m)2−4×7(4m2−4b2)>0，即b2>37m2(∗)，
x0=x1+x22=47m，y0=37m，
由MN的中点在直线y=x+1，得37m=47m+1.解得m=−7，
代入(∗)，得b2>37×(−7)2，
∵b>0，∴b> 21，
∴实数b的取值范围是( 21,+∞).
19.解：(1)证明：∵AB⊥AC，PB⊥AC，AB∩PB=B，AB、PB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB
又AC⊂平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD
(2)取AB的中点M，连接PM，∴△PAB是等边三角形．
∴PM⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PM⊥平面ABCD
取BC的中点G，连接MG，则MG//AC
∵AC⊥平面PAB∴MG⊥平面PAB
又∵AB，PM⊂平面PAB∴MG⊥AB，MG⊥PM，
故MG，AB，PM两两垂直，以M为原点，MB，MG，MP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
∵BC=2AB=2∴AC= BC2−AB2= 3
∴B(12,0,0)，P(0,0, 32)，D(−32, 3,0)，A(−12,0,0)，C(−12, 3,0)
设平面PAD的法向量为m=(x,y,z)∵PA=(−12,0,− 32)，PD=(−32, 3,− 32)
∴−12x− 32z=0−32x+ 3y− 32z=0
令z=1，则x=− 3，y=−1，∴m=(− 3,−1,1)又CD=(−1,0,0)
C到平面PAD的距离d=|CD⋅m|m= 3 3+1+1= 155
(3)连接EF，∵AC//平面BEQF，平面BEQF∩平面PAC=EF，∴AC//EF
不妨设PE=λPA，则PF=λPC，0