2024-2025学年广东省华南师范大学附属中学高二年级第一学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省华南师范大学附属中学高二年级第一学期期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−3≤x≤1}，B={x||x|≤2}，则A∩B=( )
A. {x|−2≤x≤1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|−3≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x，则f(−4)=( )
A. 12B. 2C. −12D. −2
3.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
4.已知直线2x−my+6=0平分圆C:(x−1)2+(y−2)2=4的周长，则m=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线为y= 3x，则C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 4
6.若α是第二象限角，且tanπ−α=12，则csπ2+α=( )
A. 32B. − 32C. 55D. − 55
7.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，则四棱锥B−AMNC的体积为( )
A. 512VB. 518VC. 524VD. 536V
8.已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|=3|QF|，且∠PFQ=120∘，则椭圆E的离心率为( )
A. 76B. 13C. 74D. 215
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(t,−1)，则( )
A. 若a⊥b，则t=−12B. 若a，b共线，则t=−2
C. b不可能是单位向量D. 若t=0，则|2a−b|=5
10.已知x,y为正实数，x+y=4，则( )
A. xy的最大值为4B. x+ y的最小值为2 2
C. yx+4y的最小值3D. (x2+1)(y2+1)的最小值为16
11.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，左、右顶点分别为A1，A2，OP1=32OB1，OP2=32OB2，设C的离心率为e，则( )
A. 若B1F2//P1A2，则e=23
B. 四边形F1B1F2B2的面积与C的面积之比为2eπ
C. 四边形F1B1F2B2的内切圆方程为x2+y2=a2(a2−b2)b2
D. 设椭圆外阴影部分的面积为S外，椭圆内阴影部分的面积为S内，则S外0)的一个“切立方”，求双曲线的离心率e的取值范围;
(3)已知P(x0,y0)为函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的图象上任一点，则函数f(x)在P点处的切线方程为y−y0=(2ax0+b)(x−x0).若奇函数g(x)的定义域为R，且在x>0时g(x)=3x2−6x，设函数g(x)的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.ACD
11.ABD
12.(2,1)
13.1,2
14.8
15.解：(1)(b+c−a)(b+c+a)=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a2=bc，
则b2+c2−a2=−bc，所以csA=b2+c2−a22bc=−12，
因为00，所以直线PQ的方程为x=ty+1，
因此直线PQ经过定点(1,0)．
19.解：(1)根据“切立方”的定义，结合图象可得，x=a+r，x=a−r，y=b+r，y=b−r(答案不唯一)
(2)由正方形A的方程为|x|+|y|=1，则|y|=−|x|+1=±x+1，
由正方形A为双曲线x2a2−y2b2=1的一个“切立方”，
则x2a2−y2b2=1|y|=±x+1，联立可得b2x2−a2(±x+1)2=a2b2，
整理得(b2−a2)x2±2a2x−a2−a2b2=0，
则Δ=4a4+4(b2−a2)⋅a2(1+b2)=0，
整理得b2−a2+1=0，即c2−2a2+1=0，
则c2a2=2−1a2∈(1,2)，
所以e∈(1, 2).
(3)由题可知，设曲线C上的一个点为(x1,3x12−6x1)(x1>0)，
则在该点处的切线方程为y−(3x12−6x1)=6(x1−1)(x−x1)，即y=6(x1−1)x−3x12．
由函数g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
因此如果曲线C是存在切立方，则正方形也关于原点对称，
故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为y=6(x1−1)x+3x12．
设第三个切点为(x2,3x22−6x2)(x2>0)，
同理可得另两条切线为y=6(x2−1)x±3x22．
若存在正方形，即36(x1−1)(x2−1)=−16x12 36(x1−1)2+1=6x2236(x2−1)2+1，
不妨设x1